Ψ
=
𝑧-𝑎
𝑏-𝑎
+
1
6
∇²
(2𝑎+𝑏)
(𝑧-𝑎)
-
1
2
∇²𝑎
(𝑧-𝑎)²
𝑏-𝑎
-
-
1
6
∇²
(𝑏-𝑎)
(𝑧-𝑎)³
(𝑏-𝑎)²
.
(34)
Если обозначить через σ𝑎 и σ𝑏 поверхностные плотности на поверхностях 𝑎 и 𝑏, а через Ψ𝑎 и Ψ𝑏 - соответствующие потенциалы, то
σ
𝑎
=
1
4π
(Ψ
𝑎
-Ψ
𝑏
)
⎡
⎢
⎣
1
𝑏-𝑎
+
1
3
∇²𝑎
+
1
6
∇²𝑏
⎤
⎥
⎦
,
σ
𝑏
=
1
4π
(Ψ
𝑏
-Ψ
𝑎
)
⎡
⎢
⎣
1
𝑏-𝑎
-
1
6
∇²𝑎
-
1
3
∇²𝑏
⎤
⎥
⎦
.
ГЛАВА V
МЕХАНИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
103. Пусть 𝐸1 и 𝐸2 - две электрические системы, взаимодействие между которыми и является предметом рассмотрения. Пусть распределение заряда в системе 𝐸1 даётся объёмной плотностью ρ1 в элементе объёма с координатами 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, a ρ2 - объёмная плотность в элементе объёма системы 𝐸2 с координатами 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2.
Тогда 𝑥-составляющая силы отталкивания, действующей на элемент 𝐸1 со стороны элемента 𝐸2, равна
ρ
1
ρ
2
𝑥1-𝑥2
𝑟³
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
где 𝑟² = (𝑥1-𝑥2)² + (𝑦1-𝑦2)² + (𝑧1-𝑧2)², а 𝑥-составляющая 𝐴 полной силы, действующей на систему 𝐸1 из-за наличия системы 𝐸2, равна
𝐴
=
∭∭
𝑥1-𝑥2
𝑟³
ρ
1
ρ
2
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
(1)
где интегрирование по 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 производится по объёму, занимаемому системой 𝐸1 а интегрирование по 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 - по объёму, занимаемому системой 𝐸2. Но поскольку ρ1 равно нулю вне системы 𝐸1, а ρ2 равно нулю вне системы 𝐸2, то значение интеграла не изменится при расширении пределов интегрирования, так что мы можем считать пределы интегрирования равными ±∞.
Это выражение для силы является буквальным переводом на математический язык теории, предполагающей прямое воздействие электрической силы между телами на расстоянии и не придающей значения промежуточной среде.
Если теперь определить потенциал Ψ2 в точке 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 возникающий из-за наличия системы 𝐸2, уравнением
Ψ
2
=
∭
ρ2
𝑠
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
(2)
то Ψ2 будет обращаться в нуль на бесконечности и удовлетворять всюду уравнению
∇²Ψ
2
=
4πρ
2
.
(3)
Величину 𝐴 можно теперь записать в виде тройного интеграла
𝐴
=-
∭
𝑑Ψ2
𝑥1
ρ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
.
(4)
Здесь предполагается, что потенциал Ψ2 имеет определённое значение в каждой точке поля. Сила 𝐴 выражается через этот потенциал и через плотность электричества ρ1 в первой системе 𝐸1; распределение электричества во второй системе 𝐸2 явно сюда не входит.
Пусть теперь Ψ1 - потенциал, создаваемый первой системой, выраженный как функция от 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 и определяемый уравнением
Ψ
1
=
∭
ρ1
𝑟
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
.
(5)
Он обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет всюду уравнению
∇²Ψ
1
=
4πρ
1
.
(6)
Мы можем теперь исключить ρ1 из 𝐴 и получить соотношение
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ2
𝑑𝑥1
∇²Ψ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
,
(7)
выражающее силу только через оба потенциала.
104. В рассмотренных до сих пор интегралах безразлично, каковы их пределы, лишь бы они включали весь объём системы 𝐸1. Но теперь мы предположим, что системы 𝐸1 и 𝐸2 таковы, что существует некоторая замкнутая поверхность 𝑠 содержащая внутри всю систему 𝐸1 и ни одной части системы 𝐸2.
Положим также
ρ=ρ
1
+ρ
2
,
Ψ=Ψ
1
+Ψ
2
.
(8)
Тогда внутри 𝑠 имеем ρ2=0, ρ=ρ1, а вне 𝑠
ρ
1
=0
,
ρ=ρ
2
.
(9)
Далее, интеграл
𝐴
11
=-
∭
𝑑Ψ1
𝑑𝑥1
ρ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
(10)
даёт 𝑥-составляющую результирующей силы, действующей на систему 𝐸1 из-за наличия электричества в самой этой системе. Но по теории прямого взаимодействия эта сила должна быть равна нулю, так как сила действия любой частицы 𝑃 на частицу 𝑄 равна и противоположна силе действия 𝑄 на 𝑃, а поскольку в интеграл входят составляющие обеих сил, то они уничтожают друг друга.
Поэтому можно написать
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
∇²Ψ
𝑑𝑥
1
