𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
,
(11)
где Ψ - потенциал, создаваемый обеими системами, а интегрирование ограничено объёмом внутри поверхности 𝑠, охватывающей всю систему 𝐸1 и ни одной части системы 𝐸2.
105. Если считать, что 𝐸2 действует на 𝐸1 не непосредственно на расстоянии, а через посредство напряжений, распределённых в среде, простирающейся непрерывно от 𝐸2 до 𝐸2, то очевидно, что, зная напряжения во всех точках любой замкнутой поверхности, полностью отделяющей 𝐸1 от 𝐸2, мы можем определить механическое действие 𝐸2 на 𝐸1. Если бы сила, действующая на 𝐸1, не полностью объяснялась напряжением на 𝑠, это означало бы прямое взаимодействие между чем-то вне 𝑠 и чем-то внутри 𝑠.
Следовательно, если действие 𝐸2 на 𝐸1 можно объяснить распределением напряжений в промежуточной среде, то оно должно записываться в виде поверхностного интеграла по любой поверхности 𝑠, полностью отделяющей 𝐸2 от 𝐸1.
Попытаемся поэтому представить
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎡
⎢
⎣
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(12)
в виде поверхностного интеграла.
По Теореме III, п. 21, это возможно, если удаётся найти такие 𝑋, 𝑌, 𝑍, что
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
=
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
.
(13)
Преобразуя отдельно каждое слагаемое, получим
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
=
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
,
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
=
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
-
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑²Ψ
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
-
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
.
Аналогично
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
=
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
-
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
.
Таким образом, если положить
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑥𝑥
,
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
4π𝑝
𝑦𝑧
=
4π𝑝
𝑧𝑦
,
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑦𝑦
,
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑥
=
4π𝑝
𝑧𝑥
=
4π𝑝
𝑥𝑧
,
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑧𝑧
,
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
=
4π𝑝
𝑥𝑦
=
4π𝑝
𝑦𝑥
,
(14)
то
𝐴
=
∭
⎡
⎢
⎣
𝑑𝑝𝑥𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝𝑦𝑥
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝𝑧𝑥
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(15)
где интегрирование производится по всему объёму внутри 𝑠.
Преобразуя объёмный интеграл по Теореме III, п. 21, получим
𝐴
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
𝑑𝑠
,
(16)
где 𝑛𝑠 - элемент любой замкнутой поверхности, охватывающий всю систему 𝐸1 но ни одной части системы 𝐸2, а 𝑙, 𝑚, 𝑛, - направляющие косинусы внешней нормали к 𝑛𝑠.
Точно так же для составляющих силы, действующей на 𝐸1 по осям 𝑦 и 𝑧, получим
𝐵
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑦
+
𝑚𝑝
𝑦𝑦
+
𝑛𝑝
𝑧𝑦
)
𝑑𝑠
,
(17)
𝐶
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑧
+
𝑚𝑝
𝑦𝑧
+
𝑛𝑝
𝑧𝑧
)
𝑑𝑠
,
(18)
Если в действительности воздействие системы 𝐸2 на 𝐸1 происходит непосредственно на расстоянии, без вмешательства какой-либо среды, то величины 𝑝𝑥𝑥 и т. д. должны рассматриваться как простые сокращённые обозначения определённых математических выражений, не имеющие никакого физического смысла.
