Но если принять, что взаимодействие между 𝐸2 и 𝐸1 осуществляется посредством напряжений в среде между ними, то, поскольку уравнения (16), (17), (18) дают составляющие результирующей силы, обусловленной действием извне на поверхность 𝑠 напряжения, шесть компонент которого равны 𝑝𝑥𝑥 и т.д., величины 𝑝𝑥𝑥 и т. д. следует рассматривать как составляющие реально существующего в среде напряжения.
106. Чтобы получить более ясное представление о природе этого напряжения, изменим форму части поверхности 𝑠 так, чтобы элемент 𝑑𝑠 стал частью эквипотенциальной поверхности. (Такое изменение поверхности всегда допустимо, если только при этом не исключается какая-либо часть 𝐸1 и не включается какая-либо часть 𝐸2).
Обозначим через ν наружную нормаль к 𝑑𝑠. Пусть 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑ν) - напряжённость электрического поля в направлении ν, тогда (𝑑Ψ/𝑑𝑥)=-𝑅𝑙, (𝑑Ψ/𝑑𝑦)=-𝑅𝑚, (𝑑Ψ/𝑑𝑧)=-𝑅𝑛.
Таким образом, шесть составляющих напряжения равны
𝑝
𝑥𝑥
=
1
8π
𝑅²(𝑙²-𝑚²-𝑛²)
,
𝑝
𝑦𝑧
=
1
4π
𝑅²𝑚𝑛
,
𝑝
𝑦𝑦
=
1
8π
𝑅²(𝑚²-𝑛²-𝑙²)
,
𝑝
𝑧𝑥
=
1
4π
𝑅²𝑛𝑙
,
𝑝
𝑧𝑧
=
1
8π
𝑅²(𝑛²-𝑙²-𝑚²)
,
𝑝
𝑥𝑦
=
1
4π
𝑅²𝑙𝑚
.
Если 𝑎, 𝑏, 𝑐, - составляющие силы, действующей на единицу площади элемента 𝑑𝑠, то
𝑎
=
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑚𝑧
𝑧𝑥
=
1
8π
𝑅²𝑙
,
𝑏
=
1
8π
𝑅²𝑚
,
𝑐
=
1
8π
𝑅²𝑛
.
Таким образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону 𝑑𝑠, действует на часть среды, находящуюся по внутреннюю сторону 𝑑𝑠, нормальна к элементу площади 𝑑𝑠 и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению верёвки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна 𝑅²/8π,
Пусть теперь элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае
𝑙
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
0.
(19)
Далее:
8π
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
=
𝑙
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
+
+
2𝑚
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
2𝑛
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑧
.
(20)
Умножив (19) на 2(𝑑Ψ/𝑑𝑥) и вычтя из (20), найдём
8π
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
=-
𝑙
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
-𝑙𝑅²
.
(21)
Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента 𝑑𝑠 равны
𝑎
=-
1
8π
𝑅²𝑙
,
𝑏
=-
1
8π
𝑅²𝑚
,
𝑐
=-
1
8π
𝑅²𝑛
.
Таким образом, если элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное - это не натяжение, а давление.
Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.
Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно
𝑝=𝑅²/8π
,
(22)
где 𝑅 - электродвижущая напряжённость.
Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна 𝑝.
Определённое так напряжение - не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье - равно им численно, но отличается знаком.
Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(𝑑Ψ/𝑑𝑥), -(𝑑Ψ/𝑑𝑦), -(𝑑Ψ/𝑑𝑧).
Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид
𝑝²
𝑦𝑧
=
(𝑝
𝑥𝑥
+𝑝
𝑦𝑦
)
(𝑝
𝑧𝑧
+𝑝
𝑥𝑥
)
,
𝑝²
𝑧𝑥
=
(𝑝
𝑦𝑦
+𝑝
𝑧𝑧
)
(𝑝
𝑥𝑥
+𝑝
𝑦𝑦
)
,
𝑝²
𝑥𝑦
=
(𝑝
𝑧𝑧
+𝑝
𝑥𝑥
)
(𝑝
𝑦𝑦
+𝑝
𝑧𝑧
)
.
(23)
107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .
Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.
Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к 𝑑𝑠; 𝑃, 𝑄, 𝑅 - составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а 𝑃', 𝑄', 𝑅' - её составляющие с другой стороны.
Тогда, согласно 78а и 786
𝑃-𝑃'
=
4πσ𝑙
,
𝑄-𝑄'
=
4πσ𝑚
,
𝑅-𝑅'
=
4πσ𝑛
,
