где σ - поверхностная плотность заряда.
Если 𝑎 - составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от неё, то
𝑎
=
𝑙(𝑝
𝑥𝑥
-𝑝'
𝑥𝑥
)
+
𝑚(𝑝
𝑥𝑦
-𝑝'
𝑥𝑦
)
+
𝑚(𝑝
𝑥𝑧
-𝑝'
𝑥𝑧
)
=
=
1
8π
𝑙{
(𝑃²-𝑃'²)
-
(𝑄²-𝑄'²)
-
(𝑅²-𝑅'²)}
+
+
1
4
𝑚
(𝑃𝑄-𝑃'𝑄')
+
1
4
𝑛
(𝑃𝑅-𝑃'𝑅')
=
=
1
8π
𝑙{
(𝑃-𝑃')(𝑃+𝑃')
-
(𝑄-𝑄')(𝑄+𝑄')
-
(𝑅-𝑅')(𝑅+𝑅')}
+
+
1
8π
𝑚{
(𝑃-𝑃')(𝑄+𝑄')
+
(𝑃+𝑃')(𝑄-𝑄')
}+
+
1
8π
𝑛{
(𝑃-𝑃')(𝑅+𝑅')
+
(𝑃+𝑃')(𝑅-𝑅')
}=
=
1
2
𝑙σ{
𝑙(𝑃+𝑃')
-
𝑚(𝑄+𝑄')
-
𝑛(𝑅+𝑅')
}+
+
1
2
𝑚σ{
𝑙(𝑄+𝑄')
+
𝑚(𝑃+𝑃')
}+
+
1
2
𝑛σ{
𝑙(𝑅+𝑅')
+
𝑛(𝑃+𝑃')
}=
1
2
σ(𝑃+𝑃')
.
Таким образом, приняв, что напряжение во всех точках даётся уравнениями (14), мы нашли, что 𝑥-составляющая результирующей силы, действующей на единицу площади заряженной поверхности, равна поверхностной плотности заряда, умноженной на среднее арифметическое значение 𝑥-составляющей электродвижущей напряжённости по обе стороны поверхности.
К этому же результату мы пришли в п. 79 фактически аналогичным методом.
Таким образом, гипотеза о напряжении в окружающей среде применима и в случае, когда на конечной поверхности сосредоточено конечное количество электричества.
Обычно значение результирующей силы, действующей на элемент поверхности, выводится из теории действия на расстоянии при рассмотрении участка поверхности, размеры которого много меньше радиусов кривизны поверхности 1.
1 Этот метод берёт начало от Лапласа. См. Пуассон «О распределении электричества...». Mém. de l'Institut, 1811, р. 30.
Возьмём на нормали к средней точке этого элемента поверхности точку 𝑃, расстояние которой от поверхности много меньше размеров элемента поверхности - Электродвижущая напряжённость в этой точке, обусловленная небольшим участком поверхности, приблизительно равна напряжённости, создаваемой бесконечной плоскостью, т. е. равна 2πσ и направлена от поверхности по нормали к ней. В точке 𝑃', расположенной точно так же по другую сторону поверхности, напряжённость будет такая же, но направлена в противоположную сторону.
Теперь рассмотрим ту часть электродвижущей напряжённости, которая создаётся остальной поверхностью и другими заряженными телами, находящимися на конечном расстоянии от рассматриваемого элемента поверхности. Поскольку точки 𝑃 и 𝑃' бесконечно близки друг к другу, составляющие электродвижущей напряжённости, создаваемой зарядами, находящимися на конечном расстоянии, будут в обеих точках одинаковы.
Обозначим 𝑥-составляющую электродвижущей напряжённости в точках 𝐴 и 𝐴', создаваемую зарядами, находящимися на конечном расстоянии, через 𝑃0. Тогда значение полной 𝑥-составляющей в точке 𝐴 будет 𝑃=𝑃0+2πσ𝑙, а в точке 𝐴' - 𝑃'=𝑃0-2πσ𝑙, откуда 𝑃0=(𝑃+𝑃')/2.
Но полная механическая сила, действующая на элемент поверхности, должна являться целиком результатом действия зарядов на конечных расстояниях, поскольку суммарная сила действия элемента на самого себя равна нулю. Поэтому 𝑥-составляющая силы, приходящейся на единицу площади, равна
𝑎
=
σ𝑃
0
=
(𝑃+𝑃')/2
.
(25)
108. Если (как в уравнении (2)) определить потенциал через считаемое заданным распределение электричества, то из того, что действие и противодействие для пары точечных зарядов равны и противоположны, следует, что 𝑥-составляющая силы воздействия системы на саму себя равна нулю, что может быть записано в виде
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0.
(26)
Но если определять Ψ как функцию 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющую уравнению ∇²Ψ=0 в любой точке вне замкнутой поверхности 𝑠 и равную нулю на бесконечном расстоянии, то равенство нулю рассматриваемого объёмного интеграла по любому объёму, включающему 𝑠, представляется нуждающимся в доказательстве.
Один из методов доказательства основан на теореме (п. 100в), утверждающей, что если ∇²Ψ задано в любой точке и Ψ=0 на бесконечном расстоянии, то значение Ψ в каждой точке определено и равно
Ψ'
=
1
4π
∭
1
𝑟
∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(27)
где 𝑟 - расстояние между элементом 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, где концентрация Ψ задана равной ∇²Ψ, и точкой 𝑥, 𝑦, 𝑧, где ищется Ψ.
Этим теорема сводится к полученному нами следствию из первого определения Ψ.
Однако если рассматривать Ψ как первичную функцию от 𝑥, 𝑦, 𝑧, через которую выражаются остальные, то целесообразнее свести (26) к поверхностному интегралу
𝐴
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑥𝑦
+
𝑛𝑝
𝑥𝑧
)
𝑑𝑆
.
(28)
Если поверхность 𝑆 находится всюду на большом расстоянии 𝑎 от поверхности 𝑠, охватывающей все точки, в которых ∇²Ψ отлично от нуля, то, как мы знаем, Ψ не может численно превосходить 𝑒/𝑎 (4π𝑒- объёмный интеграл от ∇²Ψ), 𝑅 не может превосходить -(𝑑Ψ/𝑑𝑎) т.е. 𝑒/𝑎², а величины 𝑝𝑥𝑥, 𝑝𝑥𝑦, 𝑝𝑥𝑧, не могут каждая превосходить 𝑝, т.е. 𝑅²/(8π) или 𝑒4/(8π𝑎4). Значит, поверхностный интеграл по сфере очень большого радиуса 𝑎 не может превосходить 𝑒²/(2𝑎²) и при неограниченно возрастающем радиусе поверхностный интеграл стремится к нулю.
Но этот поверхностный интеграл равен объёмному интегралу (26), причём значение этого интеграла одно и то же, какой бы объём ни охватывала поверхность 𝑆, лишь бы она включала в себя все точки, где ∇²Ψ отлично от нуля. Раз этот интеграл равен нулю при бесконечном 𝑎, он должен быть равен нулю и для любой поверхности, охватывающей все точки, в которых ∇²Ψ отлично от нуля.
109. Рассмотренное в этой главе распределение напряжений в точности совпадает с распределением, к которому пришёл Фарадей в своих исследованиях индукции через диэлектрики. Он резюмирует свои результаты следующими словами:
«1297. Прямая индуктивная сила, которую можно вообразить действующей цо линиям между двумя ограничивающими и заряженными проводящими поверхностями, сопровождается боковой или поперечной силой, эквивалентной расширению или отталкиванию этих воображаемых линий (1224); или иначе: сила притяжения, существующая между частицами диэлектрика в направлении индукции, сопровождается силой отталкивания, вызывающей их расхождение в поперечном направлении (1304).
1298. Индукция состоит, по-видимому, в некотором поляризованном состоянии частиц, в которое их приводит наэлектризованное тело, поддерживающее это действие, причём у частиц появляются положительные или отрицательные точки или участки, расположенные симметрично по отношению друг к другу или к индуцирующим поверхностям или частицам. Это состояние должно быть вынужденным, ибо оно создаётся и поддерживается только силой и при удалении этой силы падает до нормального состояния покоя. Одним и тем же количеством электричества оно может длительно поддерживаться только в изоляторах, потому что только они могут сохранять такое состояние частиц».
