т.е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда на поверхности сферы, такой же, как от определённой кратной точки с осями 𝘩1,…,𝘩𝑛, и моментом 𝐴𝑛𝑎𝑛. Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой кратной точки.
Таким образом, потенциал в точке 𝑝 с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, обусловленный наведённым электричеством на окружающих телах, равен
Ψ
𝑛
=
(-1)
𝑛
𝐴
𝑛
𝑑𝑛
𝑑'𝘩1𝑑'𝘩2…𝑑'𝘩𝑛
𝐺
,
(4)
где штрихи при 𝑑 показывают, что дифференцирование производится по 𝑥', 𝑦', 𝑧'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.
Удобно считать 𝑌𝑛 разбитым на 2𝑛+1 составляющих симметричной системы. Пусть 𝐴𝑛𝑌(σ)𝑛 - одна из этих составляющих. Тогда
𝑑𝑛
𝑑'𝘩1…𝑑'𝘩𝑛
=
𝐷'
(σ)
𝑛
.
(5)
Здесь не нужно ставить индекс 𝑠 или 𝑐, указывающий, какая из функций, sin σφ или cos σφ, входит в гармонику.
Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала Ψ, возникающего из-за наведённого заряда:
Ψ
=
𝐴
0
𝐺
+
∑∑
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑛
𝐴
(σ)
𝑛
𝑎𝑛
𝑛!
𝐷'
(σ)
𝑛
𝐺
⎤
⎥
⎦
.
(6)
Но на сфере потенциал постоянен, т. е.
Ψ
+
1
𝑎
𝐴
0
+
∑∑
⎡
⎢
⎣
𝑟𝑛1
𝑎𝑛1+1
𝐴
(σ1)
𝑛1
𝑌
(σ1)
𝑛1
⎤
⎥
⎦
=
const.
(7)
Применим теперь к этому выражению операцию 𝐷(σ₁)𝑛₁, где дифференцирование производится по 𝑥, 𝑦, 𝑧, а значения 𝑛₁ и σ₁ независимы от 𝑛 и σ. В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с 𝑉(σ₁)𝑛₁ и мы получаем
-2
(𝑛1+σ1)!(𝑛1-σ1)!
22σ𝑛1!
1
𝑎𝑛1+1
𝐴
(σ1)
𝑛1
=
=
𝐴
0
𝐷
(σ1)
𝑛1
𝐺
+
∑∑
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑛
𝐴
(σ)
𝑛
𝑎𝑛
𝑛!
𝐷
(σ1)
𝑛1
𝐷'
(σ)
𝑛
𝐺
⎤
⎥
⎦
.
(8)
Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит 𝐴0 заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.
Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении
𝐴
(σ1)
𝑛1
=
-
1
2
22σ𝑛1!
(𝑛1+σ1)!(𝑛1-σ1)!
𝐴
0
𝑎
𝑛1+1
𝐷
(σ)
𝑛
𝐺
.
(9)
Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через 𝑏, то
𝑎
𝑛1+1
𝐷
(σ)
𝑛
𝐺
<
𝑛
1
!
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑏
⎞𝑛1+1
⎟
⎠
.
Следовательно, при 𝑏 много большем радиуса сферы 𝑎, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше 𝐴0. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (𝑎/𝑏)2𝑛+𝑛1+1. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значения коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения.
Распределение электричества на почти сферическом проводнике
145 а. Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид
𝑟=𝑎(1+𝐹)
,
(1)
где 𝐹 - функция от направления 𝑎, т.е. от θ и ψ квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании.
Представим 𝐹 в виде ряда по поверхностным гармоникам
𝐹
=
ƒ
0
+
ƒ
1
𝑌
1
+
ƒ
2
𝑌
2
+…+
ƒ
𝑛
𝑌
𝑛
.
(2)
Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от 𝑎 Если предположить, что 𝑎 равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объёма, что и заданный проводник, то коэффициент ƒ0 обратится в нуль.
Второе слагаемое, с коэффициентом ƒ1, зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом координат. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент ƒ1 тоже обратится в нуль.
Предположим сначала, что на проводник с зарядом 𝐴0 не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид
𝑉
=
𝐴
0
1
𝑟
+
𝐴
1
𝑌'
1
1
𝑟2
+…+
𝐴
𝑛
𝑌'
𝑛
1
𝑟𝑛+1
+…
.
(3)
Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в разложении 𝐹.
На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е. постоянной величине 𝑎. Поэтому, выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая квадратами и высшими степенями 𝐹, мы получим
α
=
𝐴
0
1
𝑎
(1-𝐹)
+
𝐴
1
1
𝑎2
𝑌'
1
(1-2𝐹)
+…+
+
𝐴
𝑛
1
𝑎𝑛+1
𝑌'
𝑛
(1-(𝑛-1)𝐹)
+…+
(4)
Поскольку коэффициенты 𝐴1 и т. д., очевидно, много меньше 𝐴0, мы можем для начала пренебречь произведениями этих коэффициентов на 𝐹.
