Если теперь подставить вместо 𝐹 в первом члене (4) его разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникам одинакового порядка, мы получим
α
=
𝐴
0
/𝑎
,
(5)
𝐴
1
𝑌'
1
=
𝐴
0
𝑎ƒ
1
𝑌
1
=
0,
(6)
. . . . . . . . .
𝐴
𝑑
𝑌'
𝑑
=
𝐴
0
𝑎
𝑑
ƒ
𝑑
𝑌
𝑑
.
(7)
Из этих уравнений следует, что функции 𝑌 должны быть того же типа, что и 𝑌' и, следовательно, совпадать с ними, и что 𝐴1=0 и 𝐴𝑑=𝐴0𝑎𝑛ƒ𝑛.
Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можно воспользоваться уравнением
4πσ
=
-
𝑑𝑉
𝑑ν
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑟
cos ε (приближённо).
(8)
Здесь ν - нормаль, а ε - угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовании мы считаем 𝐹 и его первые производные по θ и φ малыми, мы можем считать cos ε=1, так что
4πσ
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
𝐴
0
1
𝑟2
+…+
(𝑛+1)
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
2
𝑟𝑛+2
+…
.
(9)
Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая произведениями 𝐹 на 𝐴𝑛, получим
4πσ
=
𝐴
0
1
𝑎2
(1-2𝐹)
+…+
(𝑎+1)
𝐴
𝑛
1
𝑎𝑛+2
𝑌
𝑛
.
(10)
Разлагая 𝐹 по сферическим гармоникам и подставляя найденные значения 𝐴𝑛, получим
4πσ
=
𝐴
0
1
𝑎2
[
1
+
ƒ
2
𝑌
2
+
2ƒ
3
𝑌
3
+…+
(𝑛-1)
ƒ
𝑛
𝑌
𝑛
]
.
(11)
Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка 𝑛 то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в 𝑛-1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме.
145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через 𝑈. Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объёма проводника
𝑈
=
𝐵
0
+
𝐵
1
𝑟𝑌'
1
+
𝐵
2
𝑟
2
𝑌'
2
+…+
𝐵
𝑛
𝑟
𝑛
𝑌'
𝑛
+…
.
(12)
Штрихи при 𝑌 показывают, что эти гармоники не обязательно того же типа, что гармоники того же порядка в разложении для 𝐹.
Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен
𝑉
=
𝐴
0
1
𝑟
-
𝐵
1
𝑎3
𝑟2
𝑌'
1
-…-
𝐵
𝑛
𝑎2𝑛+1
𝑟𝑛+1
𝑌'
𝑛
-…
.
(13)
Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен 𝑉+𝑊 где
𝑊
=
𝐶
1
1
𝑟2
𝑌''
2
+…+
𝐶
𝑚
1
𝑟𝑚+1
𝑌''
𝑚
+…
.
(14)
Гармоники с двумя штрихами отличаются от гармоник входящих как в 𝐹, так и в 𝑈, а коэффициенты 𝐶 малы, поскольку 𝐹 мало.
Потенциалы должны удовлетворять условию, что при 𝑟=𝑎(1+𝐹) сумма
𝑈+𝑉+𝑊
=
const
=
𝐴0
𝑎
+
𝐵
0
равна потенциалу проводника.
Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹, сохраняя первую степень 𝐹, умноженную на 𝐴 или 𝐵, и пренебрегая произведениями 𝐹, на малые величины 𝐶, получим
𝐹
⎡
⎢
⎣
-𝐴
0
1
𝑎
+
3𝐵
1
𝑎𝑌'
1
+
5𝐵
2
𝑎
2
𝑌'
2
+…+
(2𝑑+1)
𝐵
𝑛
𝑎
𝑛
𝑌'
𝑛
+…
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐶
1
1
𝑟2
𝑌''
2
+…+
𝐶
𝑚
1
𝑟𝑚+1
𝑌''
𝑚
+…
=
0.
(15)
Чтобы найти коэффициенты 𝐶 нужно выполнить умножение в первой строчке и выразить результат через сферические гармоники. Тогда этот ряд, взятый с обратным знаком, и будем рядом для 𝑊 на поверхности проводника.
Произведение двух поверхностных сферических гармоник порядка 𝑛 и 𝑚 является рациональной функцией степени 𝑛+𝑚 по 𝑥/𝑟, 𝑦/𝑟, 𝑧/𝑟 и, следовательно, может быть разложено в ряд по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛+𝑚. Поэтому, если 𝐹 может быть разложено по сферическим гармоникам степени не выше 𝑚, а потенциал внешних сил может быть разложен по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛, то потенциал, создаваемый поверхностными зарядами, будет содержать сферические гармоники степени не выше 𝑚+𝑛.
Соответствующая поверхностная плотность заряда может быть затем найдена по потенциалу из приближённого равенства
4πσ
+
𝑑
𝑑𝑟
(𝑈+𝑉+𝑊)
=
0.
(16)
145 в. Почти сферический проводник в почти сферическом и почти концентрическом проводящем сосуде.
Пусть уравнение поверхности проводника
𝑟
=
𝑎(1+𝐹)
,
(17)
где
𝐹
=
ƒ
1
𝑌
1
+…+
ƒ
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
,
(18)
а уравнение внутренней поверхности сосуда
