𝑟
=
𝑏(1+𝐺)
,
(19)
где
𝐺
=
𝑔
1
𝑌
1
+
𝑔
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
.
(20)
Здесь коэффициенты ƒ и 𝑔 малы по сравнению с единицей, а 𝑌(σ)𝑛 - поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ.
Пусть потенциал проводника равен α, а потенциал сосуда β. Представим потенциал в произвольной точке между проводником и сосудом в виде разложения по сферическим гармоникам
Ψ
=
𝘩
1
+
𝘩
1
𝑌
1
𝑟
+…+
𝘩
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
𝑟
𝑛
+…+
+
𝑘
0
1
𝑟
+
𝑘
1
𝑌
1
1
𝑟2
+…+
𝑘
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
1
𝑟𝑛+1
+…
.
(21)
Нужно определить постоянные 𝘩 и 𝑘 из условия, что Ψ=α при 𝑟=𝑎(1+𝐹) и Ψ=β при 𝑟=𝑏(1+𝐺).
Из предыдущего рассмотрения ясно, что все коэффициенты 𝘩 и 𝑘 кроме 𝘩0 и 𝑘0, малы, так что их произведениями на 𝐹 можно пренебречь. Поэтому можно написать
α
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑎
(1-𝐹)
+…+
⎛
⎜
⎝
𝘩
(σ)
𝑛
𝑎
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑎𝑛+1
⎞
⎟
⎠
𝑌
(σ)
𝑛
+…
,
(22)
β
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑏
(1-𝐺)
+…+
⎛
⎜
⎝
𝘩
(σ)
𝑛
𝑏
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑏𝑛+1
⎞
⎟
⎠
𝑌
(σ)
𝑛
+…
.
(23)
Отсюда следует
α
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑎
,
(24)
β
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑏
,
(25)
𝑘
0
1
𝑎
ƒ
(σ)
𝑛
=
𝘩
(σ)
𝑛
𝑎
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑎𝑛+1
,
(26)
𝑘
0
1
𝑏
𝑔
(σ)
𝑛
=
𝘩
(σ)
𝑛
𝑏
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑏𝑛+1
,
(27)
откуда получаем заряд внутреннего проводника
𝑘
0
=
(α-β)
𝑎𝑏
𝑏-𝑎
(28)
и значения коэффициентов гармоник порядка 𝑛
𝘩
(σ)
𝑛
=
𝑘
0
𝑏
𝑛
𝑔
(σ)
𝑛 - 𝑎
𝑛
ƒ
(σ)
𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
,
(29)
𝑘
(σ)
𝑛
=
𝑘
0
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
𝑏
𝑛+1
ƒ
(σ)
𝑛 - 𝑎
𝑛+1
𝑔
(σ)
𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
,
(30)
Следует при этом помнить, что коэффициенты ƒ(σ)𝑛, 𝑔(σ)𝑛, 𝘩(σ)𝑛, 𝑘(σ)𝑛 относятся к одному и тому же порядку и к одному и тому же типу.
Поверхностная плотность заряда на внутреннем проводнике даётся соотношением
4πσ𝑎
2
=
𝑘
0
(1
+…+
𝐴
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
+…)
,
где
𝐴
𝑛
=
ƒ
(σ)
𝑛 { (𝑛+2) 𝑎2𝑛+1 + (𝑛-1) 𝑏2𝑛+1 } - 𝑔
(σ)
𝑛 (2𝑛+1) 𝑎𝑛+1 𝑏𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
(31)
146. В качестве примера применения зональных гармоник рассмотрим равновесие электричества на двух сферических проводниках.
Пусть 𝑎 и 𝑏 - радиусы сфер, а 𝑐 - расстояние между их центрами. Для кратности мы положим 𝑎=𝑐𝑥, 𝑏=𝑐𝑦 так что 𝑥 и 𝑦 - числа, меньшие единицы.
Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось зональных гармоник, и пусть полюсом зональных гармоник, относящихся к каждой сфере, служит точка этой сферы, наиболее близкая к другой сфере.
Обозначим через 𝑟 расстояние произвольной точки до центра первой сферы, а через 𝑠 - расстояние той же точки от центра второй сферы.
Пусть поверхностная плотность заряда σ1 для первой сферы даётся выражением
4πσ
1
𝑎
2
=
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
+
3𝐴
2
𝑃
2
+…+
(2𝑚+1)
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
,
(1)
так что 𝐴 - полный заряд сферы, а 𝐴1 и т. д.- коэффициенты зональных гармоник 𝑃1 и т. д.
Потенциал такого распределения заряда можно представить в виде
𝑈'
=
1
𝑎
⎡
⎢
⎣
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
𝑟
𝑎
+
𝐴
2
𝑃
2
𝑟²
𝑎²
+…+
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
𝑟𝑚
𝑎𝑚
⎤
⎥
⎦
(2)
для точек внутри сферы и
𝑈
=
1
𝑟
⎡
⎢
⎣
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
𝑎
𝑟
+
𝐴
2
𝑃
2
𝑎²
𝑟²
+…+
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
𝑎𝑚
𝑟𝑚
⎤
⎥
⎦
(3)
