𝑎
-
⎧
⎨
⎩
γ+Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑏
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
,
где γ=0,57712..., а Ψ(𝑥)=𝑑/𝑑𝑥⋅ln Γ(1+𝑥).
Таблицы значений Ψ приведены Гауссом (Werke, Band III, р. 161-162).
Если временно обозначить 𝑏/(𝑎+𝑏) через 𝑥 то разность зарядов 𝐸𝑎 и 𝐸𝑏 запишется в виде
-
𝑑
𝑑𝑥
ln[Γ(𝑥)Γ(1-𝑥)]
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
𝑑
𝑑𝑥
ln sin π𝑥
=
=
π𝑎𝑏
𝑎+𝑏
ctg
π𝑏
𝑎+𝑏
.
Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале
𝐸
𝑎
=
𝑎
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
2𝑠(2𝑠-1)
=
𝑎
⎛
⎜
⎝
1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…
⎞
⎟
⎠
=
=
𝑎 ln 2
=
0,69314718 𝑎
.
Если сфера 𝐴 много меньше сферы 𝐵, то заряд на 𝐴 приблизительно равен
𝐸
𝑎
=
𝑎²
𝑏
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
𝑠²
=
π²
6
𝑎²
𝑏
,
а заряд на 𝐵 приблизительно тот же, что и при удалении сферы 𝐴, т.е. 𝐸𝑏=𝑏.
Средняя плотность на каждой сфере находится делением заряда на величину поверхности. Таким образом,
σ
𝑎
=
𝐸𝑎
4π𝑎²
=
π
24𝑏
,
σ
𝑏
=
𝐸𝑏
4π𝑏²
=
π
4𝑏
,
σ
𝑎
=
π²
6
σ
𝑏
.
Следовательно, при прикосновении малой сферы к очень большой средняя плотность на малой сфере отличается от средней плотности на большой сфере множителем π²/6 т.е. 1,644936.
Применение метода электрической инверсии к случаю сферической чаши
176. Одной из наиболее замечательных иллюстраций метода электрических изображений сэра У. Томсона является его исследование распределения электричества на части сферической поверхности, ограниченной малым кругом. Результаты этих исследований были без доказательства сообщены г-ну Лиувилю и опубликованы в его Journal в 1847 г. Полное исследование опубликовано у Томсона в Electrical Papers, статья XV.
Насколько мне известно, ни одним другим математиком не было дано какого-либо решения задачи о распределении электричества на конечной части какой-либо искривлённой поверхности.
Поскольку моей целью является разъяснение метода, а не проверка вычислений, я не будут подробно излагать ни геометрии задачи, ни вычислений, отсылая читателей к работе Томсона.
Распределение электричества на эллипсоиде
177. Известным методом было доказано 3, что притяжение оболочки, ограниченной двумя подобными, подобно расположенными и концентрическими эллипсоидами, таково, что на точку, находящуюся внутри оболочки, не действует никакая результирующая сила притяжения. Если предположить, что толщина оболочки неограниченно уменьшается, а плотность на ней неограниченно возрастает, мы в пределе придём к понятию поверхностной плотности, меняющейся пропорционально величине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную плоскость. Поскольку результирующая сила притяжения такого поверхностного распределения, действующая на любую точку внутри эллипсоида, равна нулю, то при таком распределении электричества на поверхности имеет место равновесие.
3 См. Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 520 или п. 150 настоящего трактата.
Таким образом, поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, не возмущённого внешним воздействием, меняется как расстояние касательной плоскости от центра.
Распределение электричества на диске
Взяв две оси эллипсоида равными, а третью устремив к нулю, мы придём к случаю кругового диска и к выражению для поверхностной плотности в произвольной точке 𝑃 такого диска, заряженного до потенциала 𝑉 и невозмущённого внешним влиянием. Если σ - поверхностная плотность на одной стороне диска, a 𝐾𝑃𝐿 - хорда проходящая через точку 𝑃, то σ=𝑉/(2π²√𝐾𝑃⋅𝑃𝐿).
Применение принципа электрической инверсии
178. Примем произвольную точку 𝑄 за центр инверсии и пусть 𝑅 - радиус сферы инверсии. Тогда плоскость диска переходит в сферическую поверхность, проходящую через точку 𝑄, а сам диск становится частью этой сферической поверхности, ограниченной окружностью. Назовём эту часть поверхности чашей.
Пусть 𝑆' - диск, заряженный до потенциала 𝑉 и не находящийся под внешним воздействием. Его электрическое изображение 𝑆 будет сферическим сегментом под нулевым потенциалом, электризация которого вызвана действием количества электричества 𝑉𝑅 помещённого в точку 𝑄.
Таким образом, с помощью процесса инверсии мы получили решение задачи о распределении электричества на чаше или на плоском диске, находящихся под нулевым потенциалом, под воздействием точечного заряда, лежащего на поверхности сферы или плоскости, являющихся продолжением чаши или диска.
Влияние точечного заряда, расположенного на незанятой части сферической поверхности
Применение описанных выше методов и геометрических свойств инверсии приводит к следующей форме решения.
Пусть 𝐶 - центральная точка, или полюс, сферической чаши 𝑆, а 𝑎 - расстояние от 𝐶 до произвольной точки на границе сегмента. Пусть далее в точку 𝑄 на поверхности сферы, являющейся продолжением чаши, помещено количество электричества 𝑞, а чаша 𝑆 поддерживается под нулевым потенциалом. Тогда плотность 𝑎 в любой точке 𝑃 чаши будет равна
σ
=
1
2π²
𝑞
𝑄𝑃²
⎛
⎜
⎝
𝐶𝑄²-𝑎²
𝑎²-𝐶𝑃²
⎞½
⎟
⎠
,
где 𝐶𝑄, 𝐶𝑃 и 𝑄𝑃 - прямые, соединяющие точки 𝐶, 𝑄, 𝑃. Замечательно, что это выражение не зависит от радиуса сферической поверхности, частью которой является чаша. Следовательно, оно применимо без изменения и в случае плоского диска.
Влияние произвольного числа точечных зарядов
Рассмотрим теперь сферу, разделённую на две части. Одна из них представляет собой сферический сегмент, на котором мы определили распределение электричества (будем называть её чашей), а на другой (оставшейся, или незанятой) - части сферы располагается точечный заряд 𝑄.
Если на оставшейся части сферы расположено несколько точечных зарядов, то наводимое ими распределение электричества в любой точке чаши может быть получено суммированием плотностей, наводимых в отдельности каждым зарядом.
179. Пусть вся оставшаяся поверхность сферы заряжена равномерно с поверхностной плотностью ρ, тогда плотность в каждой точке чаши может быть получена простым интегрированием по заряженной таким образом поверхности.
Таким образом, мы получим решение для случая чаши, находящейся под нулевым потенциалом и заряженной под воздействием оставшейся части сферической поверхности, на которой фиксирована однородная плотность ρ.
