²
𝑝
𝑏𝑏
)
Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93,
𝐹
=
½
⎧
⎨
⎩
𝑉
𝑎
²
𝑑𝑞𝑎𝑎
𝑑𝑐
+2
𝑉
𝑎
𝑉
𝑏
𝑑𝑞𝑎𝑏
𝑑𝑐
+
𝑉
𝑏
²
𝑑𝑞𝑏𝑏
𝑑𝑐
⎫
⎬
⎭
=
-
½
⎧
⎨
⎩
𝐸
𝑎
²
𝑑𝑝𝑎𝑎
𝑑𝑐
+2
𝐸
𝑎
𝐸
𝑏
𝑑𝑝𝑎𝑏
𝑑𝑐
+
𝐸
𝑏
²
𝑑𝑝𝑏𝑏
𝑑𝑐
⎫
⎬
⎭
,
где 𝑐 - расстояние между центрами сфер.
Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.
Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты 𝑞 по 𝑐. Эти коэффициенты выражены как функции от 𝑘 α, β, ϖ, причём при дифференцировании следует считать 𝑎 и 𝑏 постоянными. Из уравнений
𝑘
=
-𝑎 sh α
=
𝑏 sh β
=
-𝑐
sh α⋅sh β
sh ϖ
находим
𝑑𝑘
𝑑𝑐
=-
ch α⋅ch β
sh ϖ
,
𝑑α
𝑑𝑐
=
sh α⋅sh β
𝑘 sh ϖ
,
𝑑β
𝑑𝑐
=
ch α⋅sh β
𝑘 sh ϖ
,
𝑑ϖ
𝑑𝑐
=
1
𝑘
,
откуда
𝑑𝑞𝑎𝑎
𝑑𝑐
=
ch α⋅ch β
sh ϖ
⋅
𝑞𝑎𝑎
𝑘
-
𝑠=∞
∑
𝑠=0
(𝑠𝑐+𝑏 ch β) ch(𝑠ϖ-α)
𝑐(sh (𝑠ϖ-α))²
,
𝑑𝑞𝑎𝑏
𝑑𝑐
=
ch α⋅ch β
sh ϖ
⋅
𝑞𝑎𝑏
𝑘
+
𝑠=∞
∑
𝑠=1
𝑠 ch 𝑠ϖ
(sh 𝑠ϖ)²
,
𝑑𝑞𝑏𝑏
𝑑𝑐
=
ch α⋅ch β
sh ϖ
⋅
𝑞𝑏𝑏
𝑘
-
𝑠=∞
∑
𝑠=0
(𝑠𝑐+𝑎 ch α) ch(𝑠ϖ+β)
𝑐(sh (𝑠ϖ+β))²
.
Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.
Ряды для производных 𝑞 по 𝑐 могут быть легко получены прямым дифференцированием
𝑑𝑞𝑎𝑎
𝑑𝑐
=
-
2𝑎²𝑏𝑐
(𝑐²-𝑏²)²
-
2𝑎³𝑏²𝑐(2𝑐²-2𝑏²-𝑎²)
(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)²(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)²
-…
𝑑𝑞𝑎𝑏
𝑑𝑐
=
𝑎𝑏
𝑐²
+
𝑎²𝑏²(3𝑐²-𝑎²-𝑏²)
𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²)²
+
+
𝑎³𝑏³{(5𝑐²-𝑎²-𝑏²)(𝑐²-𝑎²-𝑏²)-𝑎²𝑏²}
𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)²(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)²
+…
𝑑𝑞𝑏𝑏
𝑑𝑐
=
-
2𝑎𝑏²𝑐
(𝑐²-𝑎²)²
-
2𝑎²𝑏³𝑐(2𝑐²-2𝑎²-𝑏²)
(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)²(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)²
-…
Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах
175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2𝑎) и 1/(2𝑏) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.
Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях 𝑠(1/𝑎+1/𝑏) от начала координат, где 𝑠 может принимать все целые значения от -∞ до +∞.
Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении 𝑎 равно
1
𝑎
+
𝑠
⎛
⎜
⎝
1
𝑎
+
1
𝑏
⎞
⎟
⎠
.
При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением
1
,
𝑠
⎛
⎜
⎝
1
+
1
⎞
⎟
⎠
𝑎
𝑏
где 𝑠 - положительно для сферы 𝐴 и отрицательно для сферы 𝐵. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.
Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы 𝐴, равны
1
.
1
+
𝑠
⎛
⎜
⎝
1
+
1
⎞
⎟
⎠
𝑎
𝑎
𝑏
При 𝑠 равном нулю или целому положительному числу изображение находится внутри сферы 𝐴, при 𝑠 целом отрицательном изображение находится внутри сферы 𝐵. Заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от начала координат и всегда положителен.
Таким образом, полный заряд сферы 𝐴 равен
𝐸
𝑎
=
𝑠=∞
∑
𝑠=0
1
-
𝑎𝑏
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
.
1
+
𝑠
⎛
⎝
1
+
1
⎞
⎠
𝑎+𝑏
𝑠
𝑎
𝑎
𝑏
Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде
𝐸
𝑎
=
𝑠=∞
∑
𝑠=1
𝑎²𝑏
𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}
,
то ряд становится сходящимся.
Аналогично для заряда на сфере 𝐵 получим
𝐸
𝑏
=
𝑠=∞
∑
𝑠=1
𝑎𝑏
𝑠(𝑎+𝑏)-𝑏
-
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
𝑠=-∞
∑
𝑠=-1
1
𝑠
=
=
𝑎𝑏²
𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}
.
Очевидно, выражение для 𝐸𝑎 равно
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
1
∫
0
θ(𝑏/(𝑎+𝑏))-1-1
1-θ
𝑑θ
.
Последний результат для этого случая был получен Пуассоном.
Можно также показать (Legendre, Traité des Fonctions Elliptiques, II, 438), что приведённый выше ряд для 𝐸𝑎 равен
