𝐐'
𝑠
=
-
𝐏√ch θ-cos φ
√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ
.
Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений. Теперь нам остаётся определить полный заряд на сфере 𝐀, просуммировав все изображения типа 𝐐 и 𝐏' расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде
𝐏√
ch θ-cos φ
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
√ch(θ-2𝑠ϖ)-cos φ
,
-
𝐏√
ch θ-cos φ
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
√ch(2α-θ-2𝑠ϖ)-cos φ
.
Аналогично полный заряд, индуцированный на 𝐵, равен
𝐏√
ch θ-cos φ
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
√ch(θ+2𝑠ϖ)-cos φ
,
-
𝐏√
ch θ-cos φ
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ
.
173. Применим эти результаты для нахождения коэффициентов ёмкости и индукции для двух сфер радиусов 𝑎 и 𝑏 с расстоянием между центрами 𝑐.
Пусть сфера 𝐴 находится под единичным потенциалом, а сфера 𝐵 - под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда 𝑎, помещённого в центре сферы 𝐴 дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.
Полагая
𝑘
=
√𝑎4+𝑏4+𝑐4-2𝑏2𝑐2-2𝑐2𝑎2-2𝑎2𝑏2
2𝑐
,
получим
sh α=-
𝑘
𝑎
, sh β=
𝑘
𝑏
.
Значения θ и φ для центра сферы 𝐴 равны θ=2α, φ=0.
Таким образом, мы должны в уравнениях заменить 𝐏 на 𝑎 или -𝑘/sh α, θ - на 2α, φ - на 0, имея в виду, что само 𝐏 является частью заряда сферы 𝐴. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы 𝐴 получаем
𝑞
𝑎𝑎
=
𝑘
𝑠=∞
∑
𝑠=0
1
sh(𝑠ϖ-α)
,
а для коэффициента индукции 𝐴 на 𝐵 или 𝐵 на 𝐴
𝑞
𝑎𝑏
=
-𝑘
𝑠=∞
∑
𝑠=1
1
sh 𝑠ϖ
.
Таким же способом можно было бы, считая потенциал 𝐵 единичным, а потенциал 𝐴 - нулевым, найти значение 𝑞𝑏𝑏. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:
𝑞
𝑏𝑏
=
𝑘
𝑠=∞
∑
𝑠=0
1
sh(β+𝑠ϖ)
.
Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер 𝑎 и 𝑏 и через расстояние между их центрами 𝑐, заметим, что если ввести обозначение
𝐾
=
√
𝑎
4
+𝑏
4
+𝑐
4
-2𝑏
2
𝑐
2
-2𝑐
2
𝑎
2
-2𝑎
2
𝑏
2
,
то можно написать
sh α
=-
𝐾
2𝑎𝑐
,
sh β
=
𝐾
2𝑏𝑐
,
sh ϖ
=
𝐾
2𝑎𝑏
,
ch α
=
𝑐²+𝑎²-𝑏²
2𝑐𝑎
,
ch β
=
𝑐²+𝑏²-𝑎²
2𝑐𝑏
,
ch ϖ
=
𝑐²-𝑎²-𝑏²
2𝑎𝑏
и использовать соотношения
sh(α+β)
=
sh α ch β
+
ch α sh β
,
ch(α+β)
=
ch α ch β
+
sh α sh β
.
С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим
𝑞
𝑎𝑎
=
𝑎
+
𝑎²𝑏
𝑐²-𝑏²
+
𝑎³𝑏²
(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)
+…
𝑞
𝑎𝑏
=
-
𝑎𝑏
𝑐
-
𝑎²𝑏²
𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²)
-
𝑎³𝑏³
𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)
-…
𝑞
𝑏𝑏
=
𝑏
+
𝑎𝑏²
𝑐²-𝑎²
+
𝑎²𝑏³
(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)
+…
174. Для определения зарядов 𝐸𝑎 и 𝐸𝑏 двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов 𝑉𝑎 и 𝑉𝑏, мы имеем следующие уравнения:
𝐸
𝑎
=
𝑉
𝑎
𝑞
𝑎𝑎
+
𝑉
𝑏
𝑞
𝑏𝑏
,
𝐸
𝑏
=
𝑉
𝑎
𝑞
𝑎𝑏
+
𝑉
𝑏
𝑞
𝑏𝑏
Если положить
𝑞
𝑎𝑎
𝑞
𝑏𝑏
-
𝑞
𝑎𝑏
²
=
𝐷
=
1
𝐷'
,
и
𝑝
𝑎𝑎
=
𝑞
𝑏𝑏
𝐷'
,
𝑝
𝑎𝑏
=
-
𝑞
𝑎𝑏
𝐷'
,
𝑝
𝑏𝑏
=
𝑞
𝑎𝑎
𝐷'
,
так что
𝑝
𝑎𝑎
𝑝
𝑏𝑏
-
𝑝
𝑎𝑏
²
=
𝐷'
,
то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид
𝑉
𝑎
=
𝑝
𝑎𝑎
𝐸
𝑎
+
𝑝
𝑎𝑏
𝐸
𝑏
,
𝑉
𝑏
=
𝑝
𝑎𝑏
𝐸
𝑎
+
𝑝
𝑏𝑏
𝐸
𝑏
.
где 𝑝𝑎𝑎, 𝑝𝑎𝑏 и 𝑝𝑏𝑏 - коэффициенты потенциала.
Полная энергия системы равна, согласно п. 85,
𝑄
=
½(
𝐸
𝑎
𝑉
𝑎
+
𝐸
𝑏
𝑉
𝑏
)
=
½(
𝑉
𝑎
²
𝑞
𝑎𝑎
+2
𝑉
𝑎
𝑉
𝑏
𝑞
𝑎𝑏
+
𝑉
𝑏
²
𝑞
𝑏𝑏
)
=
½(
𝐸
𝑎
²
𝑝
𝑎𝑎
+2
𝐸
𝑎
𝐸
𝑏
𝑝
𝑎𝑏
+
𝐸
𝑏
