До сих пор не найдено ни одного случая диэлектрика с индуктивной способностью меньше, чем у вакуума. Если бы такой диэлектрик был обнаружен, от физической теории Моссотти пришлось бы отказаться, хотя все его формулы остались бы справедливы, потребовалось бы лишь изменить знак коэффициента.

Во многих разделах физической науки уравнения одинакового вида оказываются применимыми к описанию явлений заведомо различной природы, как, например, электрическая индукция в диэлектриках, проводимость в проводниках, магнитная индукция. Во всех этих случаях связь между напряжённостью и вызываемым ею эффектом описывается системой уравнений одного и того же вида, так что, решив какую-либо задачу в одной из областей, можно эту задачу и её решение перевести на язык других областей, и эти новые утверждения тоже будут справедливы.

ГЛАВА II

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТАТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

Определение электричества как математической величины

63. Мы видели, что свойства заряженных тел таковы, что заряд одного тела может быть равен заряду другого или сумме зарядов двух тел и что два тела, заряженных одинаково, но противоположно, не оказывают никакого действия на внешние тела, если их поместить вместе внутрь замкнутого изолированного проводящего сосуда. Мы можем выразить все эти свойства в краткой и согласованной форме, считая наэлектризованное тело заряженным определённым количеством электричества, которое мы обозначим через е. Если заряд положителен, т. е., согласно обычному соглашению, стеклообразный, то 𝑒 будет положительной величиной. Если заряд отрицателен, т. е. смолообразный, то 𝑒 будет отрицательной величиной, а величину -𝑒 можно истолковать либо как отрицательное количество стеклянного электричества, либо как положительное количество смоляного электричества.

Сложение двух равных, но противоположных электрических зарядов +𝑒 и -𝑒 приводит к незаряженному состоянию, описываемому нулём. Поэтому незаряженное тело мы можем рассматривать как виртуально заряженное равными, но противоположными зарядами неопределённой величины, а заряженное тело можем считать виртуально заряженным неравными количествами положительного и отрицательного электричества, причём алгебраическая сумма этих зарядов даёт наблюдаемую электризацию. Очевидно, однако, что такой способ рассмотрения заряженных тел совершенно искусственный. Его можно сравнить с пониманием скорости тела как состоящей из двух или нескольких различных скоростей, ни одна из которых не является настоящей скоростью тела.

ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ

Трёхмерное распределение

64.Определение. Объёмной плотностью электричества в данной точке пространства является предел отношения количества электричества внутри сферы с центром в данной точке к объёму этой сферы при неограниченном уменьшении радиуса сферы.

Мы будем обозначать это отношение через ρ; оно может быть как положительным, так и отрицательным.

Поверхностное распределение

Как теория, так и эксперимент показывают, что в некоторых случаях заряд тела находится целиком на поверхности. Плотность в точке поверхности, определённая как указано выше, была бы бесконечно большой. Поэтому мы примем другой способ измерения поверхностной плотности.

Определение. Плотностью электричества в данной точке на поверхности является предел отношения количества электричества внутри сферы с центром в данной точке к площади поверхности, вырезаемой этой сферой при неограниченном уменьшении радиуса сферы.

Мы будем обозначать поверхностную плотность буквой σ.

Те читатели, которые представляют себе электричество материальной жидкостью или совокупностью частиц, должны в этом случае считать электричество распределённым по поверхности в виде слоя определённой толщины θ с плотностью равной ρ₀ или тому значению ρ, которое получится при максимально тесном расположении частиц на поверхности. Очевидно, в этой теории ρ₀θ=σ. При отрицательном значении σ согласно этой теории, определённый слой толщины θ остаётся полностью лишённым положительного электричества и заполненным целиком отрицательным электричеством или - в одножидкостной теории - веществом.

Нет, однако, никаких экспериментальных указаний ни на наличие электрического поверхностного слоя конечной толщины, ни на то, что электричество представляет собой жидкость или совокупность частиц. Поэтому мы предпочитаем не вводить обозначения для толщины слоя, а пользоваться специальным обозначением для поверхностной плотности.

Линейное распределение

Иногда удобно считать электричество распределённым на линии, т. е. на длинном узком теле, толщиной которого мы пренебрегаем. В этом случае мы можем определить линейную плотность в каждой точке как предел отношения заряда на элементе линии к длине этого элемента при неограниченном уменьшении этой длины.

Если линейную плотность обозначить через λ, то полное количество электричества на кривой будет равно 𝑒=∫λ𝑑𝑠, где 𝑑𝑠 -элемент длины кривой. Аналогично, если σ - поверхностная плотность, то полное количество электричества на поверхности равно 𝑒=∬σ𝑑𝑆 где 𝑑𝑆 - элемент поверхности.

Наконец, если ρ - объёмная плотность в каждой точке пространства, то полный заряд в некотором объёме равен 𝑒=∭ρ𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 где 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 - элемент объёма. Пределами интегрирования во всех случаях являются границы кривой, поверхности или рассматриваемой части пространства.

Очевидно, 𝑒, λ, σ и ρ - величины различного рода, причём размерность каждой последующей величины меньше размерности предыдущей на множитель размерности длины, так что если 𝑙 означает длину, то величины 𝑒, 𝑙λ, 𝑙²σ и 𝑙³ρ будут одного и того же рода, и если [𝐿] -единица длины, а [λ], [σ], [ρ] - единицы плотностей различного рода, то [𝑒], [𝐿λ], [𝐿²σ], [𝐿³ρ], означают все единицу электричества.

Определение единицы электричества

65. Пусть A и B - две точки, находящиеся на расстоянии в единицу длины. Пусть два тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием AB, заряжены равными количествами положительного электричества и помещены соответственно в точки A и B и пусть заряды их таковы, что сила их взаимного расталкивания равна единичной силе (способ её измерения указан в п. 6). Тогда заряд каждого тела считается равным единице количества электричества.

Если бы тело B было заряжено единицей отрицательного электричества, то, поскольку взаимодействие тел носило бы противоположный характер, тела бы притягивались с единичной силой. Если бы заряд A тоже был отрицательным и равным единице, мы вновь имели бы отталкивание с единичной силой.

Поскольку взаимодействие любых двух порций электричества не зависит от наличия остальных, сила расталкивания 𝑒 единиц электричества в точке A и 𝑒' единиц электричества в точке B будет равна 𝑒𝑒', если расстояние AB равно единице (см. п. 39).

Закон действия силы, между заряженными телами

66. Кулон показал на опыте, что сила, действующая между заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, сила расталкивания двух таких тел, несущих заряды 𝑒 и 𝑒' и находящихся на расстоянии 𝑟, равна 𝑒𝑒'/𝑟².

В п. 74в, 74г и 74д мы покажем, что этот закон - единственный, согласующийся с наблюдённым фактом, состоящим в том, что проводник, помещённый внутрь другого полого замкнутого проводника и находящийся с ним в контакте, полностью теряет свой электрический заряд. Наше убеждение в точности закона обратных квадратов следует считать основанным скорее на опытах такого рода, нежели на непосредственных измерениях Кулона.

Результирующая сила между двумя телами

67. Чтобы рассчитать результирующую силу между двумя телами, мы можем разделить каждое тело на элементы объёма и рассмотреть силу отталкивания электричества, расположенного на каждом элементе одного объёма, от электричества на каждом элементе второго объёма. Таким образом, мы получим систему сил, число которых равно произведению чисел элементов, на которые разделено каждое тело. Затем следует сложить действие всех этих сил по правилам Статики. Таким образом, чтобы найти составляющую в направлении оси 𝑥 нужно найти значение шестикратного интеграла