∭∭
ρρ'(𝑥-𝑥')𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥'𝑑𝑦'𝑑𝑧'
{(𝑥-𝑥')2+(𝑦-𝑦')2+(𝑧-𝑧')2}3/2
где 𝑥, 𝑦, 𝑧 - координаты точки первого тела, плотность заряда в которой равна ρ; 𝑥', 𝑦', 𝑧' ρ' - соответствующие величины для второго тела, и интегрирование производится сначала по одному телу, а затем по другому.
Результирующая напряжённость в точке
68. Для упрощения математических выкладок удобно рассматривать действие заряженного тела не на другое тело произвольной формы, а на достаточно малое тело, заряженное достаточно малым количеством электричества, помещённое в произвольную точку пространства, куда простирается электрическое действие. Принимая заряд этого тела достаточно малым, мы делаем неощутимым его искажающее действие на заряд первого тела.
Пусть 𝑒 - заряд малого тела, и пусть при помещении в точку (𝑥, 𝑦, 𝑧) на него действует сила 𝑅𝑒, направляющие косинусы которой 𝑙, 𝑚, 𝑛. Тогда мы можем назвать 𝑅 результирующей электрической напряжённостью в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅, то 𝑋=𝑅𝑙, 𝑌=𝑅𝑚, 𝑍=𝑅𝑛. Говоря о результирующей электрической напряжённости в точке, мы не обязательно имеем в виду, что здесь фактически действует какая-то сила; мы только хотим сказать, что если бы в эту точку было помещено заряженное тело, то на него действовала бы сила 𝑅𝑒 где 𝑒 - заряд этого тела 1.
1 Электрическая и магнитная напряжённости в электричестве и магнетизме соответствуют напряжённости тяготения, обозначаемой обычно через 𝑔 в теории тяготения.
Определение. Результирующая электрическая напряжённость в точке - это сила, которая действовала бы на малое тело, заряженное единичным положительным зарядом, если бы его поместили в эту точку, не исказив имеющегося распределения электричества.
Эта сила стремится не только переместить заряженное тело, но также переместить электричество на этом теле, так что положительное электричество стремится сместиться в направлении 𝑅 а отрицательное - в противоположном направлении. Поэтому величина 𝑅 называется также Электродвижущей Напряжённостью в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Если мы захотим выразить явно тот факт, что результирующая напряжённость является вектором, мы будем обозначать её готической буквой 𝔈. Если тело является диэлектриком, то, согласно принятой в этом трактате теории, электричество смещается в нём, причём количество электричества, смещаемое в направлении вектора 𝔈 через единичную площадку, перпендикулярную 𝔈, равно 𝔇=𝐾𝔈/4π, где 𝔇 - смещение, 𝔈 - напряжённость поля, а 𝐾 - индуктивная способность диэлектрика.
Если тело является проводником, то состояние напряжения непрерывно снимается, так что возникает ток проводимости, поддерживаемый до тех пор, пока в среде действует 𝔈.
Линейный интеграл от электрической напряжённости или электродвижущая сила вдоль дуги кривой
69. Электродвижущая сила вдоль заданной дуги АР некоторой кривой измеряется численно работой, которая была бы совершена электрической напряжённостью над единичным положительным зарядом, перемещаемым вдоль кривой, начиная с точки А и кончая точкой Р дуги.
Если 𝑠 - длина дуги, отмеряемая от точки А, а результирующая напряжённость 𝑅 в каждой точке кривой образует угол ε с касательной к кривой, проведённой в положительном направлении, то работа,- совершенная над единичным электрическим зарядом при его перемещении вдоль элемента кривой 𝑑𝑠 равна 𝑅 cos ε𝑑𝑠 а полная электродвижущая сила 𝐸 равна
𝐸
=
𝑠
∫
0
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
,
где интегрирование производится от начала до конца дуги.
Если использовать составляющие напряжённости, то это выражение примет вид
𝐸
=
𝑠
∫
0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 таковы, что 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 образует полный дифференциал функции - 𝑉 от 𝑥, 𝑦, 𝑧, то
𝐸
=
𝑃
∫
𝐴
⎛
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑌
𝑑𝑦
𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎠
=-
𝑃
∫
𝐴
𝑑𝑉
=
𝑉
𝐴
-
𝑉
𝑃
,
где интегрирование производится по любому пути от точки А к точке Р, будь то заданная кривая или любая другая линия, соединяющая А и Р.
Здесь 𝑉 - скалярная функция положения точки в пространстве, т. е. значение координат точки определяет значение 𝑉, причём это значение не зависит от положения и направления осей координат (см. п. 16).
О функциях положения точки
В последующем, описывая какую-либо величину как функцию положения точки, мы имеем в виду, что для каждого положения точки функция имеет определённое значение. Мы не подразумеваем при этом, что это значение всегда выражается одной и той же формулой для всех точек пространства; оно может выражаться одной формулой по одну сторону от некоторой поверхности и другой - по другую сторону.
О потенциальных функциях
70. Величина 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом во всех случаях, когда сила обусловлена притяжением или отталкиванием, напряжённость которых зависит от расстояний до некоторого числа точек. Если 𝑟 - расстояние одной из этих точек от точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) a 𝑅 - напряжённость отталкивания, то
𝑋
1
=
𝑅
1
𝑥-𝑥1
𝑟1
=
𝑅
1
𝑑𝑥1
𝑑𝑥
и аналогично для 𝑌1 и 𝑍1 так что
𝑋
1
𝑑𝑥
+
𝑌
1
𝑑𝑦
+
𝑍
1
𝑑𝑧
=
𝑅
1
𝑑𝑟
1
,
а поскольку 𝑅1 зависит только от 𝑟1 то 𝑅1𝑑𝑟1 является полным дифференциалом некоторой функции от 𝑟1 скажем, -𝑉1.
Аналогично для любой другой силы 𝑅2, действующей из центра, находящегося на расстоянии 𝑟2,
𝑋
2
𝑑𝑥
+
𝑌
2
𝑑𝑦
+
𝑍
2
𝑑𝑧
=
𝑅
2
𝑑𝑟
2
=-
𝑉
2
.
Ho 𝑋=𝑋1+𝑋2+ и т. д., и аналогично 𝑌 и 𝑍, так что
𝑋
𝑑𝑥
+
𝑌
𝑑𝑦
+
𝑍
𝑑𝑧
=
-𝑑𝑉
1
-𝑑𝑉
2
- и т.д.=
-𝑑𝑉
.
Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.
В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.
