Изолируем теперь всю систему, внесём её внутрь сферы диаметра ƒ и зададим на этой сфере равномерное жёсткое распределение заряда с поверхностной плотностью ρ'.
Внутри этой сферы не будет никакой результирующей силы, так что распределение электричества на чаше останется неизменным, но потенциал во всех точках внутри сферы возрастёт на величину 𝑉 равную 𝑉=2πρ'ƒ.
Таким образом, потенциал во всех точках чаши станет равным 𝑉.
Пусть теперь эта сфера концентрична сфере, частью которой является чаша, и путь её радиус лишь на бесконечно малую величину больше радиуса этой последней сферы. Мы приходим при этом к случаю чаши, поддерживаемой под потенциалом 𝑉 и находящейся под воздействием оставшейся части сферы, на которой задано жёсткое распределение электричества с поверхностной плотностью ρ+ρ=0.
180. Остаётся предположить, что ρ+ρ=0, и мы получим случай чаши, поддерживаемой под потенциалом 𝑉 и свободной от внешнего воздействия.
Пусть σ - плотность на любой из поверхностей чаши в заданной точке в случае, когда потенциал чаши равен нулю, а оставшаяся часть сферы заряжена с плотностью ρ Тогда для чаши, находящейся под потенциалом 𝑉, следует увеличить плотность на наружной стороне на ρ', где ρ' - плотность на охватывающей сфере.
В результате таких расчётов получим, что поверхностная плотность σ на поверхности внутри чаши равна
σ
=
𝑉
2π²ƒ
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
ƒ²-𝑎²
𝑎²-𝑟²
⎞½
⎟
⎠
- arctg
⎛
⎜
⎝
ƒ²-𝑎²
𝑎²-𝑟²
⎞½
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
,
а поверхностная плотность снаружи в той же точке равна σ+(𝑉/2πƒ) Здесь ƒ - диаметр сферы, 𝑎 - хорда радиуса чаши, 𝑟 - хорда расстояния 𝑃 от полюса чаши.
Эти формулы получаются простым интегрированием по части сферической поверхности. Для построения полной теории электризации сферической чаши нам понадобилось лишь знание геометрии инверсии сферических поверхностей.
181. Пусть требуется определить поверхностную плотность, наводимую в произвольной точке заземлённой чаши количеством электричества 𝑞, помещённым в точку 𝑄, не расположенную теперь, на сферической поверхности, являющейся продолжением чаши.
Произведём инверсию чаши по отношению к 𝑄, приняв радиус сферы инверсии равным 𝑅. Чаша 𝑆 перейдёт в своё изображение 𝑆', а точка 𝑃 -в своё изображение 𝑃'. Нам нужно определить плотность σ' в 𝑃' для чаши 𝑆', поддерживаемой под потенциалом 𝑉', таким, что 𝑞=𝑉'𝑅, и не подверженной внешним влияниям.
Плотность σ в точке 𝑃 первоначальной чаши будет равна σ=-(σ'𝑅³/𝑄𝑃³). причём эта чаша будет находиться под нулевым потенциалом и под воздействием количества электричества 𝑞, помещённого в точку 𝑄.
Такая процедура приводит к следующему результату.
Рис. 16
Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр 𝑂 полюс чаши 𝐶 и индуцирующий точечный заряд 𝑄. Точка 𝐷 соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.
Проведём через 𝑄 хорды 𝐸𝑄𝐸' и 𝐹𝑄𝐹' Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке 𝑄, то 𝐸'𝐹' будет изображением 𝐸𝐹. Пусть точка 𝐷' делит дугу 𝐹'𝐶𝐸' пополам, так что 𝐹'𝐷' равно 𝐷'𝐸'. Проведём прямую 𝐷'𝑄𝐷 до пересечения со сферой в точке 𝐷. Эта точка 𝐷 и является искомой. Проведём также через центр сферы 𝑂 и точку 𝑄 прямую 𝐻𝑂𝑄𝐻, пересекающуюся со сферой в точках 𝐻 и 𝐻'. Тогда для любой точки 𝑃 на чаше наводимая количеством электричества 𝑞 в точке 𝑄 поверхностная плотность на той стороне, которая отделена от 𝑄 дополняющей чашу сферической поверхностью, будет равна
σ
=
𝑞
2π²
𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'
𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³
⎧
⎨
⎩
𝑃𝑄
𝐷𝑄
⎛
⎜
⎝
𝐶𝐷²-𝑎²
𝑎²-𝐶𝑃²
⎞½
⎟
⎠
-
-
arctg
⎡
⎢
⎣
𝑃𝑄
𝐷𝑄
⎛
⎜
⎝
𝐶𝐷²-𝑎²
𝑎²-𝐶𝑃²
⎞½
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
,
где 𝑎 означает хорду, проведённую из полюса чаши 𝐷 до ободка чаши. На ближайшей к 𝑄 стороне поверхностная плотность равна
σ
+
𝑞
2π²
𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'
𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³
.
ГЛАВА XII
ТЕОРИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ
182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Ещё более мощными являются методы электрических изображений и инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю, - единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причём силовые линии не являются плоскими кривыми.
Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.
Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне её поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси 𝑧, а та часть поля, где это не имеет места, настолько удалена от рассматриваемой части, что её электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси 𝑧 и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от 𝑥 и 𝑦.
Пусть ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 - количество электричества в элементе объёма с площадью основания 𝑑𝑥𝑑𝑦 и единичной высотой, a σ𝑑𝑠 - количество электричества на элементе площади с основанием 𝑑𝑠 и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
4πρ
=
0.
При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
=
0.
Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована следующим образом.
Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми 𝐶1, 𝐶2 и т. д. Найти вид такой функции 𝑉, которая на этих границах принимает соответственно значения 𝑉1, 𝑉2 и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно общее решение даже для этой задачи, но в этом случае применим приводимый в п. 190 метод преобразования, значительно более мощный, чем любой известный нам метод решения для трёх измерений.
Этот метод основан на свойствах сопряжённых функций двух переменных.
