Определение сопряжённых функций
183. Величины α и β называются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, если α+√-1β является функцией от 𝑥+√-1𝑦.
Из этого определения следует, что
𝑑α
𝑑𝑥
=
𝑑β
𝑑𝑦
и
𝑑α
𝑑𝑦
+
𝑑β
𝑑𝑥
=
0,
(1)
𝑑²α
𝑑𝑥²
+
𝑑²α
𝑑𝑦²
=
0,
𝑑²β
𝑑𝑥²
+
𝑑²β
𝑑𝑦²
=
0.
(2)
Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того,
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
𝑑𝑦
-
𝑑α
𝑑𝑦
𝑑β
𝑑𝑥
=
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
𝑑β
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑β
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
=
𝑅².
(3)
Если 𝑥 и 𝑦 -прямоугольные координаты, 𝑑𝑠1 -отрезок кривой (β=const) между кривыми (α) и (α+𝑑α) , a 𝑑𝑠2 - отрезок кривой α между кривыми (β) и (β+𝑑β), то
-
𝑑𝑠1
𝑑α
=
𝑑𝑠2
𝑑β
=
1
𝑅
,
(4)
и кривые пересекаются под прямым углом.
Если положить потенциал равным 𝑉=𝑉0+𝑘α, где 𝑘 - некоторая постоянная, то 𝑉 будет удовлетворять уравнению Лапласа, и кривые (α) будут эквипотенциальными кривыми. Кривые (β) будут при этом силовыми линиями, а поверхностный интеграл от 𝑅 по цилиндрической поверхности единичной высоты, проекцией которой на плоскость 𝑥𝑦 является кривая 𝐴𝐵, равен 𝑘(β𝐵-β𝐴), где β𝐴 и β𝐵 - значения β на концах кривой.
Если построить на плоскости одну совокупность кривых, соответствующую значениям α, взятым в арифметической прогрессии, и другую совокупность кривых, соответствующих последовательности значений β с той же разностью прогрессии, то обе эти совокупности кривых будут пересекаться всюду под прямыми углами, и при достаточно малой общей разности обеих прогрессий элементы, на которые разделится плоскость, будут в пределе малыми квадратами, стороны которых в разных участках поля имеют разное направление и величину, будучи обратно пропорциональными 𝑅
Если две или несколько эквипотенциальных линий (α) являются замкнутыми кривыми, ограничивающими непрерывную область, то эти кривые можно принять за поверхности проводников с потенциалами соответственно 𝑉=𝑉0+𝑘α1, 𝑉=𝑉0+𝑘α2 и т.д. Количество электричества на любом из этих проводников, расположенное между силовыми линиями (β1) и (β1), равно 𝑘(β2-β1)/4π.
Таким образом, число эквипотенциальных кривых между двумя проводниками будет показывать разность потенциалов между ними, а число силовых линий, выходящих из проводника, будет показывать количество электричества на нём.
Ниже мы сформулируем некоторые из наиболее важных теорем, касающихся сопряжённых функций, причём при их доказательстве мы будем исходить либо из уравнений (1), содержащих производные, либо из первоначального определения, использующего мнимые обозначения.
184.Теорема I.Если 𝑥' и 𝑦' - сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, а 𝑥'' и 𝑦'' - тоже сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, то функции 𝑥'+𝑥'' и 𝑦'+𝑦'' будут сопряжёнными функциями по отношению к 𝑥 и 𝑦.
Действительно,
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
и
𝑑𝑥''
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦''
𝑑𝑦
,
так что
𝑑(𝑥'+𝑥'')
𝑑𝑥
=
𝑑(𝑦'+𝑦'')
𝑑𝑦
.
Далее,
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
=
-
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
и
𝑑𝑥''
𝑑𝑦
=
-
𝑑𝑦''
𝑑𝑥
,
откуда
𝑑(𝑥'+𝑥'')
𝑑𝑦
=
-
𝑑(𝑦'+𝑦'')
𝑑𝑥
.
т.e. 𝑥'+𝑥'' и 𝑦'+𝑦'' являются сопряжёнными по отношению к 𝑥 и 𝑦.
Графическое представление функции, являющейся суммой двух заданных функций
Пусть функция (α) от 𝑥 и 𝑦 графически представлена семейством кривых в плоскости 𝑥𝑦 каждая из которых соответствует некоторому значению α из последовательности значений, нарастающих с постоянной разностью δ.
Пусть другая функция (β) от 𝑥 и 𝑦 аналогично представлена семейством кривых, соответствующих значениям β с той же разностью, что и в последовательности α.
Тогда для аналогичного представления функции (α+β) нужно провести кривые через точки пересечения предыдущих семейств кривых, соединив точку пересечения кривых (α) и (β) с точкой пересечения кривых (α+δ) и (β-δ), далее с точкой пересечения (α+2δ) и (β-2δ) и т.д. Во всех этих точках функция имеет одно и то же значение (α+β). Следующая кривая может быть проведена через точки пересечения (α) и (β+δ), (α+δ) и (β), (α+2δ) и (β-δ) и т. д. Этой кривой соответствует значение функции (α+β+δ).
Таким образом, можно по имеющемуся семейству кривых (α) и семейству (β) построить семейство кривых (α+β). Эти три семейства кривых могут быть построены на отдельных листах прозрачной бумаги. Совместив соответственно первый и второй листы, можно произвести построение на третьем листе.
Комбинируя таким образом сопряжённые функции с помощью сложения, можно легко получить графики для многих интересных случаев, если только мы можем построить их для более простых случаев, входящих в качестве слагаемых. Однако в нашем распоряжении имеется и значительно более мощный метод преобразования решений, даваемый следующей теоремой.
185.Теорема II.Пусть 𝑥'' и 𝑦'' - сопряжённые функции по отношению к переменным 𝑥' и 𝑦', а 𝑥' и 𝑦' - сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, тогда 𝑥'' и 𝑦'' будут сопряжёнными функциями по отношению к 𝑥 и 𝑦.
Действительно,
𝑑𝑥''
𝑑𝑥
=
𝑑𝑥''
𝑑𝑥'
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
+
𝑑𝑥''
𝑑𝑦'
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦''
𝑑𝑦'
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
+
𝑑𝑦''
𝑑𝑥'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
=
𝑑𝑦''
𝑑𝑦
и
𝑑𝑥''
𝑑𝑦
-
𝑑𝑥''
𝑑𝑥'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
+
𝑑𝑥''
𝑑𝑦'
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
=-
𝑑𝑦''
𝑑𝑦'
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
-
𝑑𝑦''
𝑑𝑥'
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
=
-
𝑑𝑦''
𝑑𝑥
,
а это как раз условия того, что 𝑥'' и 𝑦'' - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦
Это можно показать также, исходя из первоначального определения сопряжённых функций. Поскольку 𝑥''+√-1𝑦'' является функцией от 𝑥'+√-1𝑦' а 𝑥'+√-1𝑦' является функцией от 𝑥+√-1𝑦, то 𝑥''+√-1𝑦'' является функцией от 𝑥+√-1𝑦.
