Точно так же можно показать, что если 𝑥' и 𝑦' - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, то 𝑥 и 𝑦 - сопряжённые функции от 𝑥' и 𝑦.
Эту теорему можно графически интерпретировать следующим образом.
Пусть 𝑥' и 𝑦' приняты за прямоугольные координаты и на чертеже построены кривые, соответствующие значениям 𝑥'' и 𝑦'', взятым в арифметической прогрессии. Мы получим, таким образом, два семейства кривых, разбивающих чертёж на квадратики. Построим также на чертеже горизонтальные и вертикальные прямые на равных расстояниях друг от друга, пометив их соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'.
Пусть теперь на другом чертеже 𝑥 и 𝑦 приняты за прямоугольные координаты и построено два семейства кривых 𝑥', 𝑦', помеченных соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'. Эта система криволинейных координат будет однозначно соответствовать прямоугольной системе координат 𝑥', 𝑦' на первом чертеже.
Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой 𝑥'' первого чертежа, заметить значения 𝑥' и 𝑦' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой 𝑥''. Если проделать такое построение для всех кривых 𝑥'' и 𝑦'' первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых 𝑥'', 𝑦'' отличающихся от прежних, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики.
186.Теорема III.Если 𝑉 - произвольная функция от 𝑥' и 𝑦, а 𝑥' и 𝑦' - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, то
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
,
где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах.
Действительно,
𝑑𝑉
𝑑𝑥
=
𝑑𝑉
𝑑𝑥'
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
+
𝑑𝑉
𝑑𝑦'
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
,
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
=
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+2
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'𝑑𝑦'
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
+
𝑑𝑉
𝑑𝑥'
𝑑²𝑥'
𝑑𝑥²
+
𝑑𝑉
𝑑𝑦'
𝑑²𝑦'
𝑑𝑥²
,
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
=
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+2
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'𝑑𝑦'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
+
𝑑𝑉
𝑑𝑥'
𝑑²𝑥'
𝑑𝑦²
+
𝑑𝑉
𝑑𝑦'
𝑑²𝑦'
𝑑𝑦²
.
Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
=
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
=
=
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
-
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
,
откуда
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎞
⎟
⎠
×
×
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥'
𝑑𝑥
𝑑𝑦'
𝑑𝑦
-
𝑑𝑥'
𝑑𝑦
𝑑𝑦'
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
.
Если 𝑉 - потенциал, то, согласно уравнению Пуассона
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
4πρ
=
0,
так что ∬ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.
Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях
187.Теорема IV.Если 𝑥1 и 𝑦1 а также 𝑥2 и 𝑦2 являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, а 𝑋=𝑥1𝑥2-𝑦1𝑦2 и 𝑌=𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1, то 𝑋 и 𝑌 - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.
Действительно,
𝑋
+
√
-1
𝑌
=
(𝑥
1
+√
-1
+𝑦
1
)
(𝑥
2
+√
-1
+𝑦
2
)
.
Теорема V.Если φ - решение уравнения
𝑑²φ
𝑑𝑥²
+
𝑑²φ
𝑑𝑦²
=
0, а
2𝑅
=
