ln

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

и Θ

=-

arctg

𝑑φ/𝑑𝑥

𝑑φ/𝑑𝑦

,

то 𝑅 и Θ - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.

Действительно, 𝑅 и Θ - сопряжённые функции от 𝑑φ/𝑑𝑦 и 𝑑φ/𝑑𝑥 а последние являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Пример I. Инверсия.

188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.

Пусть 𝑂 - фиксированная точка в плоскости, 𝑂𝐴 - фиксированное направление, 𝑟=𝑂𝑃=𝑎𝑒^ρ 𝐴𝑂𝑃, 𝑥 и 𝑦 - прямоугольные координаты точки 𝑃 относительно 𝑂. Тогда

ρ

=

ln

√𝑥²+𝑦²

𝑎

,

θ

=

arctg

𝑦

𝑥

,

𝑥

=

𝑎𝑒

^ρ

cos θ

,

𝑦

=

𝑎𝑒

^ρ

sin θ

,

(5)

так что ρ и θ являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Если ρ'=𝑛ρ и θ'=𝑛θ, то ρ' и θ' будут сопряжёнными функциями от ρ и θ. При 𝑛=-1

𝑟'

=

𝑎²

𝑟

 и

θ

=

-θ

,

(6)

т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления 𝑂𝐴.

Инверсия в двух измерениях

Пусть в этом случае 𝑟 и 𝑟' представляют собой расстояния соответствующих точек от 𝑂, 𝑒 и 𝑒' - полную электризацию тела, 𝑆 и 𝑆' -элементы поверхности, 𝑉 и 𝑉' - элементы объёма, σ и σ' - поверхностные плотности, ρ и ρ' - объёмные плотности, φ и φ' - соответствующие потенциалы. Тогда

𝑟'

𝑟

=

𝑆'

𝑆

=

𝑎²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑎²

,

𝑉'

𝑉

=

𝑎⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑎⁴

,

𝑒'

𝑒

=

1,

σ'

σ

=

𝑟²

𝑎²

=

𝑎²

𝑟'²

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁴

𝑎⁴

=

𝑎⁴

𝑟'⁴

,

(7)

и, поскольку, по предположению, φ' получается из φ выражением старых переменных через новые,

φ'

φ

=

1.

(7')

Пример II. Электрические изображения в двух измерениях

Рис. 17

189. Пусть 𝐴 - центр окружности радиуса 𝐴𝑄=𝑏 [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а 𝐸 - заряд в точке 𝐴. Тогда потенциал в точке 𝑃 равен

φ

=

2𝐸

ln

𝑏

𝐴𝑃

;

(8)

и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке 𝑄 равна -𝐸/(2π𝑏).

Произведём инверсию этой системы относительно точки 𝑂, приняв 𝐴𝑂=𝑚𝑏, 𝑎²=(𝑚²-1)𝑏². Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в 𝐴', равный заряду 𝐴, причём 𝐴𝐴'=(𝑏/𝑚).

Плотность в точке 𝑄' равна

𝐸

2π𝑏

𝑏²-𝐴𝐴'²

𝐴'𝑄'²

,

а потенциал в произвольной точке 𝑃' внутри окружности равен

φ'

=

φ

=

2𝐸(ln 𝑏-ln 𝐴𝑃)

=

=

2𝐸(ln 𝑂𝑃'-ln 𝐴'𝑃'-ln 𝑚)

.

(9)

Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда 𝐸 в точке 𝐴' и заряда -𝐸 в точке 𝑂, являющейся изображением точки 𝐴' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке 𝑂 равен и противоположен заряду в точке 𝐴'.

Если точка 𝑃' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив ρ=ln 𝑟-ln 𝑏, ρ₀=ln 𝐴𝐴'-ln 𝑏, получим

𝐴𝑃'

=

𝑏𝑒

^ρ

,

𝐴𝐴'

=

𝑏𝑒

^ρ₀

,

𝐴𝑂

=

𝑏𝑒

^-ρ₀

,

(10)

и потенциал в точке (ρ,θ) равен

φ

=

𝐸 ln

(

𝑒

^-2ρ₀

-2

𝑒

^-ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

-

-

𝐸 ln

(

𝑒

^2ρ₀

-2

𝑒

^ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

+

2𝐸

ρ

₀

.

(11)

Этоc потенциал в точке (ρ,θ), обязанный заряду 𝐸, помещённому в точку (ρ,0), причём φ=0, когда ρ=0.

В этом случае ρ и θ - сопряжённые функции в уравнении (5): ρ - логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а θ - угол.

Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл ∫(𝑑θ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 по замкнутой кривой равен 2π или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.

Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая ¹

¹ См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.

190. Пусть теперь α и β - любые сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, такие, что кривые (α) являются эквипотенциальными кривыми, а кривые (β) - силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.

Предположим, что кривая, для которой потенциал равен α₀, является замкнутой, причём ни одна часть заряженной системы не расположена внутри неё, за исключением половины единичного заряда в начале координат.

Тогда все кривые (α), расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые (β) встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым (α).

Координаты произвольной точки внутри кривой (α₀) определяются значениями α и β в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых (α) в положительном направлении значение β увеличивается на 2π при полном обходе кривой.

Предположим теперь, что кривая (α₀) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью 𝐸, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке (α) внутри кривой равен

φ

=

2𝐸

(α-α

₀

),