(12)
а количество электричества на любом отрезке кривой (α0) ограниченной точками соответствующими β1 и β2, равно
𝑄
=
1
2π
𝐸
(β
1
-β
2
).
(13)
Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.
Пусть значения α и β для точки, в которой помещён заряд, равны α1 и β1. Подставляя в уравнение (11) α-α0 вместо ρ, α1-α0 вместо ρ0 (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности α=α0) и β-β1 вместо θ, получим для потенциала в произвольной точке с координатами α и β
φ
=
𝐸 ln
(
1
-
2𝑒
α+α1-2α0
cos(β-β
1
)
+
𝑒
2(α+α1-2α0)
)-
-𝐸 ln
(
1
-
2𝑒
α-α1
cos(β-β
1
)
+
𝑒
2(α-α1)
)
-2𝐸
(α
1
-α
0
)
.
(14)
Это выражение для потенциала обращается в нуль при α=α0 конечно и непрерывно внутри кривой α0, за исключением точки (α1,β1), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2𝐸 ln 𝑟' где 𝑟' - расстояние от этой точки.
Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решение для какой-либо другой точки.
Заряд на элементе кривой α0 между точками β и β+𝑑β наводимый зарядом 𝐸, помещённым в точку (α1,β1) равен в обозначениях п. 183
-
1
4π
𝑑φ
𝑑𝑠1
𝑑𝑠
2
,
где 𝑑𝑠1 отсчитывается внутрь, а α после дифференцирования полагается равным α0.
Согласно (4) из п. 183, это равно
1
4π
𝑑φ
𝑑α
𝑑β
,
(α=α
0
); т.е.
-
𝐸
2π
1-𝑒2(α1-α0)
1-2𝑒(α1-α0)cos(β-β1)+𝑒2(α1-α0)
𝑑β.
(15)
Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (α1,β1) внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция β при условии, что внутри замкнутой кривой нет зарядов.
Действительно, согласно п. 86, часть потенциала в точке (α1,β1), обусловленная наличием потенциала 𝑉 на участке 𝑑β замкнутой кривой, равна 𝑛𝑉, где 𝑛 - заряд, наводимый на 𝑑β единичным зарядом в (α1,β1). Таким образом, если 𝑉 - потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция β, а φ - потенциал в точке (α1,β1) внутри замкнутой кривой, не содержащей внутри зарядов, то
φ
=
1
2π
2π
∫
0
(1-𝑒2(α1-α0))𝑉𝑑β
1-2𝑒(α1-α0)cos(β-β1)+𝑒2(α1-α0)
.
(16)
Примep IV. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями
191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость 𝑦=0, проводник расположен со стороны отрицательных 𝑦 и поверхностная плотность заряда равна σ0, потенциал на расстоянии 𝑦 от плоскости равен 𝑉=𝐶-4πσ0𝑦, где 𝐶 - значение потенциала на самом проводнике.
Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде 𝑉=𝐶-4πσ0𝑒ρsin θ, а количество электричества на параллелограмме единичной ширины и длины 𝑎𝑒ρ измеряемой вдоль оси, будет равно 𝐸=σ0𝑎𝑒ρ.
Положим теперь ρ=𝑛ρ' и θ=𝑛θ'. Поскольку ρ' и θ' сопряжены ρ и θ, уравнения
𝑉
=
𝐶
-
4πσ
0
𝑒
𝑛ρ'
sin 𝑛θ'
и
𝐸
=
σ
0
𝑎𝑒
𝑛ρ'
.
дают возможное распределение потенциала и заряда.
Заменим 𝑎𝑒ρ' на 𝑟, где 𝑟 - расстояние от оси, и переобозначим угол θ' через θ. Тогда получим
𝑉
=
𝐶
-
4πσ
0
𝑟𝑛
𝑎𝑛-1
sin 𝑛θ
,
𝐸
=
σ
0
𝑟𝑛
𝑎𝑛-1
.
𝑉 равно 𝐶 при 𝑛θ равном π или кратном π.
Пусть ребро представляет собой выступающий угол проводника с раствором α между гранями, тогда угол области диэлектрика равен 2π-α, так что при θ=2π-α точка находится на второй грани проводника.
Поэтому мы должны положить 𝑛(2π-α)=π или 𝑛=π/(2π-α). Тогда
𝑉
=
𝐶
-
4πσ
0
𝑎
⎛
⎝
𝑟
𝑎
⎞
⎠
π
2π-α
sin
π
2π-α
,
𝐸
=
σ
0
𝑎
⎛
⎝
𝑟
𝑎
⎞
⎠
π
2π-α
.
Поверхностная плотность σ на произвольном расстоянии 𝑟 от ребра равна
σ
=
𝑑𝐸
𝑑𝑟
=
π
2π-α
σ
0
⎛
⎝
𝑟
𝑎
⎞
⎠
α-π
2π-α
.
Если угол выступающий, то α меньше π и плотность заряда меняется обратно пропорционально некоторой степени расстояния от ребра, так что на самом ребре плотность становится бесконечной, хотя полный заряд на любом конечном расстоянии от ребра всегда конечен.
Так, при α=0 ребро бесконечно острое, как край математической плоскости. В этом случае плотность меняется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от края.
При α=π/3 ребро такое, как у равносторонней призмы, а плотность меняется обратно расстоянию в степени 2/5.
При α=π/2 угол у ребра прямой, а плотность обратно пропорциональна корню кубическому из расстояния.
