для точек вне сферы.
Подобным образом, если поверхностная плотность заряда на второй сфере даётся выражением
4πσ
2
𝑏
2
=
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
+…+
(2𝑛+1)
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
,
(4)
то обусловленный ею потенциал вне и внутри этой сферы представляется в виде
𝑉'
=
1
𝑏
⎡
⎢
⎣
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
𝑠
𝑏
+…+
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
𝑠𝑛
𝑏𝑛
⎤
⎥
⎦
,
(5)
𝑉
=
1
𝑠
⎡
⎢
⎣
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
𝑏
𝑠
+…+
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
𝑏𝑛
𝑠𝑛
⎤
⎥
⎦
,
(6)
где все гармоники относятся ко второй сфере.
Заряды на сферах равны соответственно 𝐴 и 𝐵.
Потенциал в каждой точке внутри первой сферы постоянен и равен потенциалу этой сферы α так что внутри сферы
𝑈'+𝑉
=
α.
(7)
Точно так же, если потенциал второй сферы равен β то для точек внутри этой сферы
𝑈+𝑉'
=
β.
(8)
Для точек вне обеих сфер потенциал равен Ψ, где
𝑈+𝑉
=
Ψ.
(9)
На оси между центрами сфер
𝑟+𝑠
=
𝑐.
(10)
Отсюда, дифференцируя по 𝑟 полагая после дифференцирования 𝑟=0 и учитывая, что в полюсе каждая зональная гармоника равна единице, получим
𝐴
1
1
𝑎2
-
𝑑𝑉
𝑑𝑠
=
0,
𝐴
2
2!
𝑎3
-
𝑑2𝑉
𝑑2𝑠
=
0,
…,
𝐴
𝑚
𝑚!
𝑎𝑚+1
+
(-1)
𝑚
𝑑𝑚𝑉
𝑑𝑚𝑠
=
0,
(11)
где после дифференцирования 𝑠 следует положить равным 𝑐.
Если выполнить дифференцирование и положить 𝑎/𝑐=𝑥 и 𝑏/𝑐=𝑥, то уравнения примут вид
0
=
𝐴
1
+
𝐵𝑥
2
+
2𝐵
1
𝑥
2
𝑦
+
3𝐵
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑛+1)
𝐵
𝑛
𝑥
2
𝑦
𝑛
,
0
=
𝐴
2
+
𝐵𝑥
3
+
3𝐵
1
𝑥
3
𝑦
+
6𝐵
2
𝑥
3
𝑦
2
+…+
+
1
2
(𝑛+1)
(𝑛+2)
𝐵
𝑛
𝑥
3
𝑦
𝑛
,
.................
0
=
𝐴
𝑚
+
𝐵𝑥
𝑚+1
+
(𝑚+1)
𝐵
1
𝑥
𝑚+1
𝑦
+
+
1
2
(𝑚+1)(𝑚+2)
𝐵
2
𝑥
𝑚+1
𝑦
2
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐵
𝑛
𝑥
𝑚+1
𝑦
𝑛
.
(12)
Соответствующие выкладки для другой сферы дают
0
=
𝐵
1
+
𝐴𝑦
2
+
2𝐴
1
𝑥𝑦
2
+
3𝐴
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑚+1)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
2
,
0
=
𝐴
2
+
𝐴𝑦
3
+
3𝐴
1
𝑥𝑦
3
+
6𝐴
2
𝑥
2
𝑦
3
+…+
+
1
2
(𝑚+1)
(𝑚+2)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑛
𝑦
3
,
.................
0
=
𝐵
𝑛
+
𝐴𝑦
𝑛+1
+
(𝑛+1)
𝐴
1
𝑥𝑦
𝑛+1
+
+
1
2
(𝑛+1)(𝑛+2)
𝐴
2
𝑥
2
𝑦
𝑛+1
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
𝑛+1
.
(13)
Для нахождения потенциалов α и β обеих сфер у нас имеются уравнения (7) и (8), которые мы можем теперь записать в виде
𝑐α
=
𝐴
1
𝑥
+
𝐵
+
𝐵
1
𝑦
+
𝐵
2
𝑦
2
+…+
𝐵
𝑛
𝑦
𝑛
,
(14)
𝑐β
=
𝐵
1
𝑦
+
𝐴
+
𝐴
1
𝑥
+
𝐴
2
𝑥
2
+…+
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
(15)
Таким образом, если ограничиться коэффициентами от 𝐴1 до 𝐴𝑚 и от 𝐵1 до 𝐵𝑛, то у нас есть 𝑚+𝑛 уравнений для выражения этих величин через заряды обеих сфер 𝐴 и 𝐵, а подставляя значения этих коэффициентов в (14) и (15), мы можем выразить потенциалы сфер через их заряды.
Эти операции можно произвести с помощью определителей, но с вычислительной точки зрения удобнее действовать следующим образом.
Подставив в уравнение (12) значения 𝐵1, …, 𝐵𝑛 из уравнений (13), мы получим
𝐴
1
=
-
𝐵𝑥
2
+
+
𝐴𝑥
2
𝑦
3
[
2⋅1
+
3⋅1𝑦
2
+
4⋅1𝑦
4
+
5⋅1𝑦
