𝐴
(σ)
𝐶
𝑛
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
𝑟
𝑛
.
Если к функции Ψ и её разложению применить операцию
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
⎛
⎜
⎝
𝑑σ
𝑑ξσ
+
𝑑σ
𝑑ησ
⎞
⎟
⎠
и положить после дифференцирования 𝑥, 𝑦, 𝑧 равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего
𝐴
(σ)
𝐶
𝑛
Перейдя в операторе, применяемом к функции Ψ к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
⎡
⎢
⎣
𝑑σ
𝑑𝑥σ
-
σ(σ-1)
1⋅2
𝑑σ-2
𝑑𝑥σ-2
𝑑²
𝑑𝑦²
+…
⎤
⎥
⎦
Ψ
=
=
𝐴
(σ)
𝐶
𝑛
(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!
2σ𝑛!
,
(84)
позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от Ψ по 𝑥, 𝑦, 𝑧 в начале координат.
143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, лёгким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвёртого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис. VI-IX в конце этого тома).
На рис. VI показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120° в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с σ=1 и осью, перпендикулярной рисунку.
На рис. VII также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90°, и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы. Одна из узловых линий - большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами.
На рис. VIII показана разность двух зональных гармоник четвёртого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате получается тессеральная гармоника с 𝑛=4, σ=2.
На рис. IX показана сумма этих же гармоник. Результат даёт представление об одном из типов гармоник четвёртого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.
На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности.
Я построил также на рис. V плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка.
Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями, а силовые линии - прямые, параллельные оси, причём их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределён наиболее простым образом.
144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом.
Указанными выше методами разложим заданный потенциал Ψ в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы.
Пусть 𝐴𝑛𝑟𝑛𝑌𝑛 - одна из этих гармоник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член -𝐴𝑛𝑟𝑛𝑌𝑛, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4πσ должно входить слагаемое 4πσ𝑛=(2𝑛+1)𝑎𝑛𝐴𝑛𝑌𝑛.
Таким образом, мы можем определить коэффициенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой. Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда 𝑒 сферы и даётся соотношением 4πσ0=𝑎-2𝑒.
Потенциал сферы равен 𝑉=Ψ0+(𝑒/𝑎).
144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземлённых проводников и известна Функция Грина 𝐺 от координат любых двух точек 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑥', 𝑦', 𝑧' в области, куда помещена сфера.
Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные - кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы.
Обозначим функцию Грина через 𝐺𝑝𝑝', где индекс 𝑝 указывает точку с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, а индекс 𝑝' - точку с координатами 𝑥', 𝑦', 𝑧'.
Если заряд 𝐴0 помещён в точку 𝑝', то, считая 𝑥', 𝑦', 𝑧' постоянными, мы можем рассматривать 𝐺𝑝𝑝' как функцию от 𝑥, 𝑦, 𝑧. Потенциал, создаваемый электричеством, наведённым на окружающих телах зарядом 𝐴0, равен
Ψ
=
𝐴
0
𝐺
𝑝𝑝'
.
(1)
Если бы заряд 𝐴0 находился не в точке 𝑝', а был равномерно распределён по сфере радиуса 𝑎 с центром в точке 𝑝', то значение Ψ в точках вне сферы осталось бы таким же.
При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам
4π𝑎²σ
=
𝐴
0
+
3𝐴
1
𝑖
1
+…+
(2𝑛-1)
3𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
+…
,
(2)
что всегда можно сделать.
Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом
4π𝑎²σ
=
(2𝑛+1)
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
,
(3)
равен
𝑟𝑛
𝑎𝑛+1
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
в точках внутри сферы и
𝑎𝑛
𝑟𝑛+1
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
в точках вне сферы.
Последнее выражение, согласно (13), (14) из п. 129 в и 129 г, равно
(-1)
𝑛
𝐴
𝑛
𝑎𝑛
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
1
𝑟
,
