(𝑛)
σ
.
(75)
Ряд по убывающим степеням μ, начинающийся с μ𝑛-σ, обозначен Хайне символом 𝔓(𝑛)σ а Тодхантером - символом ω̃(σ,𝑛).
Этот ряд можно представить в двух других видах:
𝔓
(𝑛)
σ
=
ω̃(σ,𝑛)
=
(𝑛-σ)!
(2𝑛)!
𝑑𝑛+σ
𝑑μ𝑛+σ
(μ²-1)
𝑛
=
2𝑛(𝑛-σ)!𝑛!
(2𝑛)!
𝑑σ
𝑑μσ
𝑃
𝑛
.
(76)
Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по μ, по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения 𝑇(𝑛)σ принятого Феррерсом, который определяет его так:
𝑇
(𝑛)
σ
=
𝑑σ
𝑑μσ
𝑃
𝑛
=
(2𝑛)!
2𝑛(𝑛-σ)!𝑛!
Θ
(𝑛)
σ
.
(77)
Если эту же величину представить как однородную функцию от μ и ν и поделить на коэффициент перед μ𝑛-σν𝑛, получится функция, обозначенная нами через Θ(𝑛)σ.
140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.
Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение 𝑛-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют 𝑛 широтным параллелям на сфере.
Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.
Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.
Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причём одна функция в паре содержит косинус, а другая - синус от σφ. Поэтому они обращаются в нуль на σ меридианных кругах на сфере, а также на 𝑛-σ параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2σ(𝑛-σ-1) четырехугольников или «тессер», считая в том числе 4σ треугольников у полюсов. Поэтому они полезны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями.
Все эти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на 2𝑛 меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2𝑛 секторов. Эти две гармоники называются Секторными.
141. Найдём теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдём от поверхностной гармоники 𝑌(σ)𝑛 к пространственной гармонике положительной степени, умножив её на 𝑟𝑛 продифференцируем эту пространственную гармонику по 𝑛 осям самой этой гармоники, а затем положим 𝑥=𝑦=𝑧=0 и умножим результат на
4π𝑎²
𝑛!(2𝑛+1)
.
Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так:
∬
(𝑌
(σ)
𝑛
)²
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
𝑛!(2𝑛+1)
𝐷
(σ)
𝑛
(
𝑟
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
).
(78)
Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от 𝑠, ξ и η:
𝑟
𝑛
𝑌
(σ)
𝑆
𝑛
=
(𝑛+σ)!
22σ𝑛!σ!
𝑖(
η
σ
-
ξ
σ
)
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑧
𝑛-σ
-
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)
4(σ+1)
𝑧
𝑛-σ-2
ξη
+…
⎤
⎥
⎦
,
(79)
мы видим, что после выполнения дифференцирований по 𝑧 все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (𝑛-σ)!.
Продолжая дифференцирование по ξ и η, мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель -2𝑖σ!, так что окончательный результат имеет вид
∬
⎛
⎝
𝑌
(σ)
𝑆
𝑛
⎞²
⎠
𝑑𝑠
=
8π𝑎²
2𝑛+1
(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!
22σ𝑛!𝑛!
.
(80)
Правую часть этого уравнения мы сокращённо обозначим через [𝑛,σ].
Это соотношение справедливо для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно, но при σ=0 нет гармоники с sin σφ.
Таким же способом можно показать, что
∬
⎛
⎝
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
⎞²
⎠
𝑑𝑠
=
8π𝑎²
2𝑛+1
(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!
22σ𝑛!𝑛!
(81)
для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно.
При σ=0 гармоника становится зональной гармоникой и
∬
⎛
⎝
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
⎞²
⎠
𝑑𝑠
=
∬
(𝑃
𝑛
)²
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
2𝑛+1
,
(82)
что можно получить прямо из уравнения (50), положив 𝑌𝑛=𝑃𝑚 и учтя, что значение зональной гармоники в её полюсе равно единице.
142 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положения точки на сфере. Действительно, пусть 𝐹 - произвольная функция и 𝐴σ𝑛 - коэффициент перед 𝑌(σ)𝑛 в разложении этой функции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда
∬
𝐹𝑌
(σ)
𝑛
𝑑𝑠
=
𝐴
𝑛
∬
⎛
⎝
𝑌
(σ)
𝑛
⎞²
⎠
𝑑𝑠
=
𝐴
(σ)
𝑛
[𝑛,σ]
,
(83)
где [𝑛,σ] - сокращённое обозначение значения поверхностного интеграла, даваемого равенством (80).
142 б. Пусть Ψ - произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса 𝑎 от точки 𝑂, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке 𝑂.
Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке 𝑂 радиусом, меньшим 𝑎, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на 𝑟/𝑎 в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция.
Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы.
Предположим, например, что в разложении Ψ есть член вида
