Мы будем также писать
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
𝐷
(σ)
𝑆
=
𝐷
(σ)
𝑆
𝑛
и
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
𝐷
(σ)
𝐶
=
𝐷
(σ)
𝐶
𝑛
,
(62)
так что
𝐷
(σ)
𝑆
𝑛
и
𝐷
(σ)
𝐶
𝑛
обозначают операции дифференцирования по 𝑛 осям, из которых 𝑛-σ совпадают с осью 𝑧, а остальные σ расположены под равными углами друг к другу в плоскости 𝑥𝑦, причём обозначение
𝐷
(σ)
𝑆
𝑛
применяется, если ось 𝑦 совпадает с одной из этих осей, а
𝐷
(σ)
𝐶
𝑛
- когда ось 𝑦 делит пополам угол между осями.
Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ можно теперь представить в виде
𝑌
(σ)
𝑆
𝑛
=
(-1)
𝑛
1
𝑛!
𝑟
𝑛+1
𝐷
(σ)
𝑆
𝑛
,
(63)
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
=
(-1)
𝑛
1
𝑛!
𝑟
𝑛+1
𝐷
(σ)
𝐶
𝑛
,
(64)
Положив μ=cos θ, ν=sin θ, ρ²=𝑥²+𝑦², 𝑟=ξη+𝑧², так что 𝑧=μ𝑟, ρ=ν𝑟, 𝑥=ρ cosφ, 𝑦=ρ sinφ, получим
𝐷
(σ)
𝑆
1
𝑟
=
(-1)
σ
(2σ)!
22σσ!
𝑖(η
σ
-ξ
σ
)
1
𝑟2σ+1
,
(65)
𝐷
(σ)
𝐶
1
𝑟
=
(-1)
σ
(2σ)!
22σσ!
(ξ
σ
+η
σ
)
1
𝑟2σ+1
,
(66)
где можно положить
𝑖
2
(η
σ
-ξ
σ
)
=
ρ
σ
sin σψ
,
1
2
(ξ
σ
+η
σ
)
=
ρ
σ
cos σψ
.
(67)
Остаётся лишь продифференцировать по 𝑧 что мы и проделаем, выразив результат либо через 𝑟 и 𝑧, либо как однородную функцию от 𝑧 и ρ, делённую на некоторую степень 𝑟:
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
1
𝑟2σ+1
=
(-1)
𝑛-σ
(2𝑛)!
2𝑛𝑛!
2σσ!
(2σ)!
1
𝑟2𝑛+1
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑧
𝑛-σ
-
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)
2(2𝑛-1)
𝑧
𝑛-σ-2
𝑟
2
⎤
⎥
⎦
(68)
или
𝑑𝑛-σ
𝑑𝑧𝑛-σ
1
𝑟2σ+1
=
(-1)
𝑛-σ
(𝑛+σ)
(2σ)!
1
𝑟2𝑛+1
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑧
𝑛-σ
-
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)
2(2𝑛-1)
𝑧
𝑛-σ-2
ρ
2
⎤
⎥
⎦
.
(69)
Если ввести
Θ
(σ)
𝑛
=
ν
σ
⎡
⎢
⎣
μ
𝑛-σ
-
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)
2(2𝑛-1)
μ
𝑛-σ-2
+
+
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)
2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)
μ
𝑛-σ-4
-…
⎤
⎥
⎦
(70)
и
Θ
(σ)
𝑛
=
ν
σ
⎡
⎢
⎣
μ
𝑛-σ
-
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)
4(σ+1)
μ
𝑛-σ-2
ν
2
+
+
(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)
4⋅8⋅(σ+1)(σ+2)
μ
𝑛-σ-4
ν
4
-…
⎤
⎥
⎦
,
(71)
то
Θ
(σ)
𝑛
=
2𝑛-σ𝑛!(𝑛+σ)!
(2𝑛)!σ!
Θ
(σ)
𝑛
,
(72)
так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем.
Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка 𝑛 типа σ через Θ или Θ:
𝑌
(σ)
𝑆
𝑛
=
(2𝑛)!
2𝑛+σ𝑛!𝑛!
Θ
(σ)
𝑛
2sin σφ
=
(𝑛+σ)!
22σ𝑛!σ!
Θ
(σ)
𝑛
2sin σφ
,
(73)
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
=
(2𝑛)!
2𝑛+σ𝑛!𝑛!
Θ
(σ)
𝑛
2cos σφ
=
(𝑛+σ)!
22σ𝑛!σ!
Θ
(σ)
𝑛
2cos σφ
.
(74)
Следует учесть, что если σ=0 то sin σφ=0, а cos σφ=1.
Для каждого значения σ от 1 до 𝑛 включительно имеются две гармоники, но при σ=0
𝑌
(σ)
𝑆
𝑛
=
0, а
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
=
𝑃
𝑛
- зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка 𝑛 равно 2𝑛+1, как и должно быть.
140 б. Численное значение 𝑌 принятое в этой книге, получается дифференцированием 𝑟-1 по 𝑛 осям и делением на 𝑛!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей - синуса или косинуса от σφ, νσ, функции от μ, (или от μ и ν) и численного коэффициента.
Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от θ часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение νσ на ряд по убывающим степеням μ, первый член которого равен μ𝑛-σ, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через Θ.
Функция, которую Хайне (Heine) (Handbuch der Kugelfunctionen, § 47) обозначает 𝑃(𝑛)σ и называет zugeordnete Function erster Art, или, как переводит Тодхантер, «присоединённая функция первого рода» (associated function of the first kind) связана Θ(𝑛)σ соотношением
Θ
(𝑛)
σ
=
-1
σ/2
𝑃
