μ
𝑛-2𝑝
⎤
⎥
⎦
,
(54)
где 𝑝 принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превышающего 𝑛/2.
Иногда удобно представить 𝑃𝑛 как однородную функцию от cos θ и sin θ, или, в наших обозначениях, от μ и ν:
𝑃
𝑛
=
μ
𝑛
-
𝑛(𝑛-1)
2⋅2
μ
𝑛-2
ν
2
+
𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)
2⋅2⋅4⋅4
μ
𝑛-4
ν
4
-…
=
=
∑
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑝
𝑛!
22𝑝(𝑝!)2(𝑛-2𝑝)!
μ
𝑛-2𝑝
ν
2𝑝
⎤
⎥
⎦
.
(55)
В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что 𝑃𝑛(μ) является коэффициентом при 𝘩𝑛 в разложении (1-2μ𝘩+𝘩2)-1/2 и что 𝑃𝑛(μ) равно также
1
2𝑛𝑛!
𝑑𝑛
𝑑μ𝑛
(μ²-1)
𝑛
.
Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен
∬
(𝑃
𝑛
)²
𝑑𝑠
=
2π𝑎²
+1
∫
-1
(𝑃
𝑛
(μ))²
𝑑μ
4π𝑎²
2𝑛+1
,
(56)
так что
+1
∫
-1
(𝑃
𝑛
(μ))²
𝑑μ
=
2
2𝑛+1
(57)
139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от μ без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.
Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами θ и φ, и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (θ',φ'), то значение зональной гармоники в точке (θ,φ) будет функцией четырёх углов θ', φ', θ, φ, но поскольку оно зависит лишь от μ, т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (θ,φ) и (θ',φ') оно не меняется при замене θ на θ' и φ на φ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.
Любая однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её 𝑛 полюсов, так что в ней только 2𝑛 переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2𝑛+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через θ и φ, называется Функцией Лапласа.
140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости 𝑥𝑦 и образующим друг с другом угол π/σ. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 - второго).
Если положить ξ=𝑥+𝑖𝑦, η=𝑥-𝑖𝑦, где 𝑖 означает √-1, то операция дифференцирования по осям σ, одна из которых образует угол α с осью 𝑥 может быть записана для нечётных σ следующим образом:
⎛
⎜
⎝
𝑒
𝑖α
𝑑
𝑑ξ
+
𝑒
𝑖α
𝑑
𝑑η
⎞
⎟
⎠
×
×
⎛
⎜
⎝
exp 𝑖
⎧
⎪
⎩
α+
2π
σ
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑑
𝑑ξ
+
exp -𝑖
⎧
⎪
⎩
α+
2π
σ
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑑
𝑑η
⎞
⎟
⎠
×
×
⎛
⎜
⎝
exp 𝑖
⎧
⎪
⎩
α+
4π
σ
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑑
𝑑ξ
+
exp -𝑖
⎧
⎪
⎩
α+
4π
σ
⎫
⎪
⎭
⋅
𝑑
𝑑η
⎞
⎟
⎠
… .
Это эквивалентно
cos σα
⎧
⎨
⎩
𝑑σ
𝑑ξσ
+
𝑑σ
𝑑ησ
⎫
⎬
⎭
+
sin σα⋅𝑖
⎧
⎨
⎩
𝑑σ
𝑑ξσ
-
𝑑σ
𝑑ησ
⎫
⎬
⎭
.
(58)
Для чётных σ можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде
(-1)
(σ+2)/2
⎧
⎨
⎩
cos σα⋅𝑖
⎛
⎜
⎝
𝑑σ
𝑑ξσ
-
𝑑σ
𝑑ησ
⎞
⎟
⎠
-
sin σα
⎛
⎜
⎝
𝑑σ
𝑑ξσ
+
𝑑σ
𝑑ησ
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
(59)
Таким образом, если положить
𝑖
⎛
⎜
⎝
𝑑σ
𝑑ξσ
-
𝑑σ
𝑑ησ
⎞
⎟
⎠
=
𝐷
(σ)
𝑆
,
𝑑σ
𝑑ξσ
+
𝑑σ
𝑑ησ
=
𝐷
(σ)
𝐶
,
то операции дифференцирования по осям σ можно выразить через
𝐷
(σ)
𝑆
,
𝐷
(σ)
𝐶
.
В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,
2
σ-1
𝐷
(σ)
𝑆
=
σ
𝑑σ-1
𝑑𝑥σ-1
𝑑
𝑑𝑦
-
σ(σ-1)(σ-2)
1⋅2⋅3
𝑑σ-3
𝑑𝑥σ-3
𝑑³
𝑑𝑦³
+…
,
(60)
2
σ-1
𝐷
(σ)
𝐶
=
𝑑σ
𝑑𝑥σ
-
σ(σ-1)
1⋅2
𝑑σ-2
𝑑𝑥σ-2
𝑑²
𝑑𝑦²
+…
.
(61)
