𝑑𝑠
=
ƒ
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝘩
𝑑𝑧
𝑑𝑠
,
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑠
.
(16)
Тогда
Ψ
2
=
𝐶
Ψ
∫
0
⎛
⎜
⎝
exp
∫
∇²Ψ1
𝑅²
𝑑Ψ
1
⎞
⎟
⎠
𝑑Ψ
1
,
(17)
где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии 𝑠.
Остаётся определить постоянную 𝐶 из условия, что Ψ2=1 на 𝑠1 когда и Ψ1=1 т.е.
𝐶
1
∫
0
⎛
⎜
⎝
exp
Ψ
∫
0
∇²Ψ
𝑅²
𝑑Ψ
⎞
⎟
⎠
𝑑Ψ
=
1.
Таким образом, получается второе приближение для Ψ Этот процесс может быть повторён снова.
В результате, рассчитав 𝑉Ψ1, 𝑉𝔇2, 𝑉Ψ2 и т. д., мы получим значения ёмкости, которые последовательно то больше, то меньше истинной ёмкости и непрерывно приближаются к ней.
Описанный выше метод требует расчёта формы линии 𝑠 и проведения интегрирования вдоль неё. В общем случае это операции, слишком сложные для практических целей. Однако в некоторых частных случаях можно применить более простой метод получения приближения.
102 в. В качестве иллюстрации метода рассмотрим его применение к нахождению последовательных приближений для эквипотенциальных поверхностей и линий индукции в электрическом поле между двумя почти (но не совсем) плоскими и почти параллельными поверхностями, причём одна из них имеет нулевой потенциал, а другая - единичный.
Пусть уравнения этих поверхностей имеют вид
𝑧
1
=
ƒ
1
(𝑥,𝑦)
=
𝑎
(19)
для поверхности с нулевым потенциалом и
𝑧
2
=
ƒ
2
(𝑥,𝑦)
=
𝑏
(20)
для поверхности с единичным потенциалом. Здесь 𝑎 и 𝑏 - заданные функции от 𝑥 и 𝑦, причём 𝑏 всегда больше 𝑎. Первые производные 𝑎 и 𝑏 по 𝑥 и 𝑦 считаются малыми величинами, вторыми и более высокими степенями и произведениями которых можно пренебречь.
Предположим сначала, что линии индукции параллельны оси 𝑧. Тогда
ƒ=0,
𝑔=0,
𝑑𝘩/𝑑𝑧=0
.
(21)
Таким образом, 𝘩 постоянно вдоль каждой отдельной линии индукции и
Ψ
=
-4π
𝑧
∫
𝑎
𝘩
𝑑𝑧
=
-4π𝘩
(𝑧-𝑎)
.
(22)
При 𝑧=𝑏 Ψ=1, так что
𝘩
=-
1
4π(𝑏-𝑎)
(23)
и
Ψ=(𝑧-𝑎)/(𝑏-𝑎)
.
(24)
Таким образом, мы получили первое приближение для потенциала, дающее систему эквипотенциальных поверхностей, равноотстоящих друг от друга в направлении, параллельном 𝑧.
Для получения второго приближения для линий индукции примем, что они всюду нормальны к эквипотенциальным поверхностям, определяемым уравнением (24).
Это условие эквивалентно соотношениям
4πƒ
=
λ
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
4π𝑔
=
λ
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
4π𝘩
=
λ
𝑑Ψ
𝑑𝑧
,
(25)
где λ определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
(26)
и чтобы криволинейный интеграл
4π
∫
⎛
⎜
⎝
ƒ
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝘩
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(27)
взятый вдоль любой линии индукции от поверхности 𝑎 до поверхности 𝑏, был равен -1.
Положим
λ
=
1+𝐴
+
𝐵(𝑧-𝑎)
+
𝐶(𝑧-𝑎)²
(28)
и будем пренебрегать степенями и произведениями 𝐴, 𝐵, 𝐶, пренебрежём также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от 𝑎 и 𝑏.
Условие соленоидальности даёт при этом
𝐴
=
-∇²𝑎
,
𝐵
=-
1
2
∇²(𝑏-𝑎)
𝑏-𝑎
,
(29)
где
∇²
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑²
𝑑𝑥²
+
𝑑²
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
(30)
Вместо того чтобы брать криволинейный интеграл по новой линии индукции, мы возьмём его по старой линии индукции, параллельной 𝑧. Тогда второе условие соленоидальности даёт
1=1
+𝐴
+
1
2
𝐵(𝑏-𝑎)
+
1
3
𝐶(𝑎-𝑏)²
откуда
𝐴
=
1
6
(𝑏-𝑎)
∇²
(2𝑎+𝑏)
(31)
и
λ
=
1+
1
6
(𝑏-𝑎)
∇²
(2𝑎+𝑏)
-
(𝑧-𝑎)
∇²𝑎
-
1
2
(𝑧-𝑎)²
𝑏-𝑎
∇²
(𝑏-𝑎)
.
(32)
Таким образом, мы находим второе приближение для составляющих смещения
-4πƒ
=
λ
𝑏-𝑎
⎡
⎢
⎣
𝑑𝑎
𝑑𝑥
+
𝑑(𝑏-𝑎)
𝑑𝑥
𝑧-𝑎
𝑏-𝑎
⎤
⎥
⎦
,
-4π𝑔
=
λ
𝑏-𝑎
⎡
⎢
⎣
𝑑𝑎
𝑑𝑦
+
𝑑(𝑏-𝑎)
𝑑𝑦
𝑧-𝑎
𝑏-𝑎
⎤
⎥
⎦
,
-4π𝘩
=
λ
𝑏-𝑎
(33)
второе приближение для потенциала
