𝑊
Ψ
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(4)
по всему полю.
Поскольку мы показали (в п. 996), что 𝑊 не может превышать 𝑊Ψ, ёмкость 𝑞 не может быть больше 2𝑊Ψ.
Чтобы найти нижнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую систему значений ƒ, 𝑔, 𝘩, удовлетворяющую уравнению
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
=
0,
(5)
и пусть
∬
(
𝑙
1
ƒ
+
𝑚
1
𝑔
+
𝑛
1
𝘩
)
𝑑
1
𝑠
=
𝑒
1
.
(6)
Вычислим теперь значение объёмного интеграла
𝑊
𝔇
=
2π
∭
(
ƒ²
+
𝑔²
+
𝘩²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(7)
по всему полю.
Поскольку мы показали в п. 100 в, что 𝑊 не может превышать 𝑊𝔇, то ёмкость 𝑞 не может быть меньше
𝑒
1
²
/
(2𝑊
𝔇
)
.
(8)
Проще всего найти совокупность функций ƒ, 𝑔, 𝘩 удовлетворяющую условик соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на 𝑠1 и на 𝑠0 так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал Ψ, соответствующий: этому распределению, и электрическую энергию такой системы.
Если теперь положить
ƒ
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
𝑔
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝘩
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
,
то эти значения ƒ, 𝑔, 𝘩 будут удовлетворять условию соленоидальности.
Однако в этом случае можно найти 𝑊𝔇 и не производя объёмного интегрирования. Поскольку для этого решения ∇²Ψ=0 во всех точках поля, то 𝑊𝔇 можно выразить в виде поверхностного интеграла
𝑊
𝔇
=
1
2
∬
Ψσ
1
𝑑𝑠
1
+
1
2
∬
Ψσ
0
𝑑𝑠
0
,
где первый интеграл берётся по поверхности 𝑠1, а второй - по 𝑠0.
Если поверхность 𝑠0 находится на бесконечно большом расстоянии от 𝑠1 то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает.
102 б. Приближённое решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом.
Пусть 𝑠1 - поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а 𝑠0 - поверхность всех остальных проводников, в том числе и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.
Начнём с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от 𝑠1 к 𝑠0.
Вдоль каждой из этих линий будем считать Ψ меняющимся от 1 на 𝑠1 до 0 на 𝑠0. Если 𝑃 - точка на одной из таких линий (а 𝑠1 и 𝑠0 - точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить Ψ1=(𝑃𝑠0/𝑠1𝑠0).
Таким образом, мы получаем первое приближение для функции Ψ1 равной: единице на 𝑠1 и нулю на 𝑠0.
Рассчитанное по Ψ1 значение 𝑊φ больше, чем 𝑊.
Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий
ƒ
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
,
𝑔
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
,
𝘩
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
.
(10)
Вектор с составляющими ƒ, 𝑔, 𝘩 нормален поверхностям постоянного Ψ1. Определим значение 𝑝, потребовав, чтобы вектор ƒ, 𝑔, 𝘩 был соленоидальным. Мы придём к соотношению
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑑²Ψ1
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ1
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ1
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝
𝑑𝑧
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
=
0.
(11)
Если провести от 𝑠1 к 𝑠0 линию, всюду нормальную к поверхностям постоянного Ψ1, и обозначить через 𝑠 длину, отсчитываемую от 𝑠0 по этой линии, то
𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
,
𝑅
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
,
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
,
(12)
где 𝑅 - величина напряжённости, равная -𝑑Ψ1/𝑑𝑠 так что
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝
𝑑𝑧
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
=
-𝑅
𝑑𝑝
𝑑𝑠
,
=
𝑅²
𝑑𝑝
𝑑Ψ1
,
(13)
и уравнение (11) принимает вид
𝑝∇²Ψ
=
𝑅²
𝑑𝑝
𝑑Ψ1
,
(14)
откуда
𝑝
=
𝐶 exp
Ψ1
∫
0
∇²Ψ1
𝑅²
𝑑Ψ
1
,
(15)
где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии 𝑠
Предположим теперь, что вдоль линии 𝑠
-
𝑑Ψ2
