𝑍
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
и мы получим
∬
Ψ
⎡
⎢
⎣
(
𝐾
𝑥𝑥
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑥
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑥
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
(
𝐾
𝑥𝑦
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
+
(
𝐾
𝑥𝑧
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
-
-
∭
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
∭
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
+
+
𝐾
𝑦𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑧
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝐾
𝑧𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝐾
𝑥𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
∬
Φ
⎡
⎢
⎣
(
𝐾
𝑥𝑥
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑥
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑥
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
(
𝐾
𝑥𝑦
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
(
𝐾
𝑥𝑧
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
-
-
∬
Φ
⎡
⎢
⎣
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности (следует помнить, что порядок индексов в коэффициентах безразличен).
В кватернионных обозначениях эти соотношения записываются короче:
∬
Ψ𝑆.𝑈νφ(∇Φ)
𝑑𝑠
-
∭
Ψ𝑆.{∇φ(∇Φ)}
𝑑ς
=
=
∭
𝑆.∇Ψφ(∇Φ)
𝑑ς
=-
∭
𝑆.∇Φφ(∇Ψ)
𝑑ς
=
=
∬
Φ𝑆.𝑈νφ(∇Ψ)
𝑑𝑠
=-
∭
Φ𝑆.{∇φ(∇Ψ)}
𝑑ς
.
Границы возможных значений электрической ёмкости проводника
102 а. Мы уже определили ёмкость проводника или системы проводников как заряд этого проводника или системы проводников при сообщении им единичного потенциала и при нулевом потенциале всех остальных проводников, находящихся в поле.
Излагаемый ниже метод определения предельных значений, между которыми должно находиться значение ёмкости проводника, был предложен Дж. У. Стреттом в его работе «О теории резонанса», Phil. Trans., 1871, Art. 306.
Пусть 𝑠1 - поверхность проводника или системы проводников, ёмкость которых следует определить, a 𝑠0 - поверхность всех остальных проводников. Пусть потенциал 𝑠1 равен Ψ1 потенциал 𝑠0 равен Ψ0. Если заряд на 𝑠1 равен 𝑒1 то заряд на 𝑠0 равен -𝑒1.
Ёмкость 𝑝 проводника 𝑠1 равна
𝑞
=
𝑒
1
/(Ψ
1
-Ψ
0
)
.
(1)
Если 𝑊 - энергия системы при фактическом распределении заряда, то
𝑊
=
𝑒
1
(Ψ
1
-Ψ
0
)/2
,
(2)
так что
𝑞
=
2𝑊
(Ψ1-Ψ0)²
=
𝑒1²
2𝑊
.
(3)
Чтобы найти верхнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую функцию Ψ равную 1 на 𝑠1 и нулю на 𝑠0, и вычислим значение объёмного интеграла
