+
𝑔𝑄
+
𝘩𝑅
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
101 д. Теперь перейдём к соотношению между 𝔇 и 𝔈. Единица заряда обычно определяется из опытов в воздухе. Из опытов Больцмана мы знаем теперь, что диэлектрическая постоянная для воздуха несколько больше, чем для вакуума, и что она зависит от плотности воздуха. Поэтому, строго говоря, подобно тому как значения коэффициентов преломления в воздухе нуждаются в поправке, так и все измерения электрических величин следует скорректировать, сведя их либо к воздуху при нормальной температуре и нормальном давлении, либо, что с научной точки зрения более предпочтительно, к вакууму. Но в обоих случаях поправки столь малы, что обнаруживаются лишь при чрезвычайно точных измерениях.
В эталонной среде 4π𝔇=𝔈, т.е. 4πƒ=𝑃, 4π𝑔=𝑄, 4π𝘩=𝑅.
В изотропной среде с диэлектрической постоянной 𝐾
4π𝔇
=
𝐾𝔈
,
4πƒ
=
𝐾𝑃
,
4π𝑔
=
𝐾𝑄
,
4π𝘩
=
𝐾𝑄
.
Однако есть некоторые среды, из которых наиболее исследовано стекло, в которых соотношение между 𝔇 и 𝔈 более сложное и содержит производные по времени от одной или от обеих этих величин, так что оно имеет вид
𝐹(
𝔇
,
𝔈
,
𝔇̇
,
𝔈̇
,
𝔇̈
,
𝔈̈
,…)
=
0.
Мы сейчас не будем рассматривать соотношений такого более общего вида и ограничимся случаем, когда 𝔇 является линейной векторной функцией от 𝔈.
Самый общий вид такого соотношения может быть записан в виде 4π𝔇=φ(𝔈), где через φ мы будем всюду в нашем исследовании обозначать линейную векторную функцию. Таким образом, составляющие являются линейными однородными функциями от составляющих 𝔇 и могут быть записаны в виде
4π
ƒ
=
𝐾
𝑥𝑥
𝑃
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑄
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑅
,
4π
𝑔
=
𝐾
𝑦𝑥
𝑃
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑄
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑅
,
4π
𝘩
=
𝐾
𝑧𝑥
𝑃
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑄
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑅
,
где первый индекс в каждом коэффициенте 𝐾 указывает направление составляющей смещения, а второй - направление составляющей электродвижущей напряжённости.
В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равны между собой, то такая функция называется самосопряжённой.
Если выразить 𝔈 через 𝔇, то получится соотношение типа 𝔈=4πφ-1(𝔇), т. е.
𝑃
=
4π(
𝑘
𝑥𝑥
ƒ
+
𝑘
𝑦𝑥
𝑔
+
𝑘
𝑧𝑥
𝘩
),
𝑄
=
4π(
𝑘
𝑥𝑦
ƒ
+
𝑘
𝑦𝑦
𝑔
+
𝑘
𝑧𝑦
𝘩
),
𝑅
=
4π(
𝑘
𝑥𝑧
ƒ
+
𝑘
𝑦𝑧
𝑔
+
𝑘
𝑧𝑧
𝘩
).
101 e. Работа, совершаемая в единице объёма среды электродвижущей напряжённостью с составляющими 𝑃, 𝑄, 𝑅 при создании смещения с составляющими 𝑑ƒ, 𝑑𝑔, 𝑑𝘩 равна
𝑑𝑊
=
𝑃𝑑ƒ
+
𝑄𝑑𝑔
+
𝑅𝑑𝘩
.
Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то 𝑊 должно быть функцией ƒ, 𝑔, 𝘩, а поскольку ƒ, 𝑔, 𝘩 могут меняться независимо, то
𝑃
𝑑𝑊
𝑑ƒ
,
𝑄
𝑑𝑊
𝑑𝑔
,
𝑅
𝑑𝑊
𝑑𝘩
.
Отсюда следует, что
𝑑𝑃
𝑑𝑔
=
𝑑²𝑊
𝑑𝑔𝑑ƒ
=
𝑑²𝑊
𝑑ƒ𝑑𝑔
=
𝑑𝑄
𝑑ƒ
.
Ho 𝑑𝑃/𝑑𝑔=4π𝑘𝑦𝑥 - коэффициент передав выражении для 𝑃, a 𝑑𝑄/𝑑ƒ=4π𝑘𝑦𝑥 - коэффициент перед ƒ в выражении для 𝑄.
Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то 𝑘𝑥𝑦=𝑘𝑦𝑥 т.е. φ-1 - самосопряжённая функция.
Отсюда следует, что и φ - самосопряжённая функция, т. е. 𝐾𝑥𝑦=𝐾𝑦𝑥.
101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:
𝑊
𝔈
1
8π
=
∭
[
𝐾
𝑥𝑥
𝑃²
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑄²
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑅²
+
2𝐾
𝑦𝑧
𝑄𝑅
+
+
2𝐾
𝑧𝑥
𝑅𝑃
+
2𝐾
𝑥𝑦
𝑃𝑄
]
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
или
𝑊
𝔇
=
2π
∭
[
𝑘
𝑥𝑥
ƒ²
+
𝑘
𝑦𝑦
𝑔²
+
𝑘
𝑧𝑧
𝘩²
+
2𝑘
𝑦𝑧
𝑔𝘩
+
+
2𝑘
𝑧𝑥
𝘩ƒ
+
2𝑘
𝑥𝑦
ƒ𝘩
]
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где индекс указывает на вектор, через который выражается 𝑊. Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора.
Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.
Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних - к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде
𝑊
=-
1
2
∭
𝑆.𝔇𝔈
𝑑ς
,
𝑊
𝔈
=-
2π
∭
𝑆.𝔈φ(𝔈)
𝑑ς
,
𝑊
𝔇
=-
1
8π
∭
𝑆.𝔇φ
-1
(𝔇)
𝑑ς
.
101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,
𝑋
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
𝑌
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
