Угол между последовательными изображениями одинакового знака равен 2π/𝑛. Если каждую из проводящих плоскостей рассмотреть как плоскость симметрии, то видно, что точечный заряд и его положительные и отрицательные изображения расположены симметрично относительно этой плоскости, причём каждому положительному изображению соответствует отрицательное изображение, расположенное на той же нормали и на таком же расстоянии по другую сторону от плоскости.

Если теперь инвертировать систему относительно произвольной точки, то обе плоскости перейдут в две сферы или же в сферу и плоскость, пересекающиеся под углом π/𝑛 причём точка 𝐏, инверсная к точке 𝑃, расположена внутри этого угла.

Последовательные изображения расположены на окружности, проходящей через точку 𝐏 и пересекающей обе сферы под прямыми углами.

Чтобы найти положение этих изображений, можно использовать тот факт, что точка и её изображение в сфере расположены на одном и том же радиусе сферы, И построить последовательно хорды окружности, на которой лежат изображения, начиная с точки 𝐏 и проводя их попеременно через центры обеих сфер.

Для определения заряда, который следует приписать каждому изображению, выберем произвольную точку на окружности пересечения, тогда заряд каждого Изображения будет пропорционален его расстоянию до этой точки, а знак будет положительным или отрицательным в зависимости от того, принадлежит ли точка изображения к первой последовательности или ко второй.

166. Итак, мы нашли расположение изображений для любого объёма, ограниченного проводником, состоящим из двух сферических поверхностей, встречающихся под углом π/𝑛, поддерживаемого под нулевым потенциалом и находящегося под действием точечного заряда.

Методом инверсии мы можем рассмотреть случай расположенного в свободном пространстве проводника, состоящего из двух сферических сегментов, пересекающихся под входящим углом π/𝑛, и находящегося под единичным потенциалом.

Для этого произведём инверсию системы плоскостей по отношению к точке 𝑃 и изменим знаки зарядов. Окружность, на которой раньше располагались заряды, переходит в прямую, проходящую через центры сфер.

Рис. 11

Пусть рис. 11 представляет собой сечение, проходящее через линию центров 𝐴𝐵, a 𝐷 и 𝐷' - точки пересечения общей окружности обеих сфер с плоскостью чертежа. Тогда для нахождения последовательных изображений построим радиус 𝐷𝐴 первой сферы и прямые 𝐷𝐶, 𝐷𝐸 и т. д., образующие углы π/𝑛, 2π/𝑛 и т. д. с 𝐷𝐴. В точках 𝐴, 𝐶, 𝐸 и т. д., в которых эти прямые пересекают линию центров, расположены положительные изображения, а заряд в каждой точке даётся её расстоянием от точки 𝐷. Последнее из этих изображений находится в центре второй окружности.

Для нахождения отрицательных изображений проведём прямые 𝐷𝑄, 𝐷𝑅 и т. д., образующие углы π/𝑛, 2π/𝑛 и т. д. с линией центров. Пересечения этих прямых с линией центров дают положения отрицательных изображений, а величина заряда в них даётся их расстоянием до точки 𝐷 так как, если 𝐸 и 𝑄 - инверсные точки для сферы 𝐴, то углы 𝐴𝐷𝐸, 𝐴𝑄𝐷 равны между собой.

Поверхностная плотность в произвольной точке любой из сфер равна сумме поверхностных плотностей, обусловленных системой изображений. Так, например, поверхностная плотность в произвольной точке 𝑆 сферы с центром в 𝐴 равна

σ

=

1

4π⋅𝐷𝐴

⎧

⎨

⎩

1

+

(𝐴𝐷²-𝐴𝐵²)

𝐷𝐵

𝐵𝑆²

+

(𝐴𝐷²-𝐴𝐶²)

𝐷𝐶

𝐶𝑆²

+…

⎫

⎬

⎭

,

где 𝐴, 𝐵, 𝐶 и т.д.- последовательность положительных изображений.

Если точка 𝑆 расположена на окружности пересечения, то плотность в ней равна нулю.

Для нахождения полного заряда одного из сферических сегментов нужно найти поверхностный интеграл по этому сегменту от величины индукции, создаваемой каждым изображением.

Полный заряд на сегменте с центром в точке 𝐴, обусловленный изображением в точке 𝐴 с зарядом 𝐷𝐴, равен

𝐷𝐴

𝐷𝐴+𝑂𝐴

2(𝐷𝐴)

=

1

2

(𝐷𝐴+𝑂𝐴)

,

где 𝑂 - центр окружности пересечения.

Аналогично заряд на этом же сегменте, обусловленный изображением 𝐵, равен (𝐷𝐵+𝑂𝐵)/2 и т. д., причём отрезки 𝑂𝐵 и т. п., отсчитываемые влево от 𝑂, считаются отрицательными.

Таким образом, полный заряд на сегменте с центром в точке 𝐴 равен

½(𝐷𝐴+𝐷𝐵+𝐷𝐶+…)

+

½(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶+…)

-

-

½(𝐷𝑃+𝐷𝑄+…)

-

½(𝑂𝑃+𝑂𝑄+…)

.

167. Метод электрических изображений может быть применён к любому объёму, ограниченному плоскими или сферическими поверхностями, если все эти поверхности пересекаются под углами, являющимися целыми делителями двух прямых углов.

Для того чтобы существовала такая система сферических поверхностей, каждый пространственный угол должен быть трехгранным, причём два образующих его угла должны быть прямыми, а третий - либо прямой, либо целый делитель двух прямых углов.

Таким образом, имеются следующие случаи конечного числа изображений: 1) одиночная сферическая поверхность или плоскость; 2) две плоскости, сфера и. плоскость или две сферы, пересекающиеся под углом π/𝑛; 3) две таких поверхности вместе с третьей поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две под прямым углом; 4) три таких поверхности вместе с четвёртой поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две поверхности ортогонально, а третью - под углом π/𝑛; из этих четырёх поверхностей по крайней мере одна должна быть сферической.

Первый и второй случай мы уже рассмотрели. В первом случае имеется единственное изображение. Во втором - (2𝑛-1)-изображений расположены двумя последовательностями на окружности, проходящей через действующий заряд и ортогональной обеим поверхностям. В третьем случае мы имеем наряду с этими изображениями и действующим зарядом ещё их изображения в третьей поверхности, т. е. всего (4𝑛-1)-изображений, не считая действующего заряда.

В четвёртом случае проведём сначала через действующий заряд окружность, ортогональную первым двум поверхностям, и найдём на ней положения и величины 𝑛 отрицательных изображений и (𝑛-1) положительных изображений. Затем через каждую из этих 2𝑛 точек, включая и точку нахождения действующего заряда, проведём окружность, ортогональную третьей и четвёртой поверхностям, и найдём на ней две последовательности изображений по 𝑛' изображений в каждой. Таким образом, мы получим, не считая действующего заряда, (2𝑛𝑛'-1) положительных и 2𝑛𝑛' отрицательных изображений. Эти 4𝑛𝑛' точек являются точками пересечения окружностей, принадлежащих двум системам линий кривизны циклиды.

Если в каждой из упомянутых точек поместить заряд надлежащей величины, то поверхность нулевого потенциала будет состоять из 𝑛+𝑛' сфер, принадлежащих к двум семействам, причём последовательные сферы одного семейства пересекаются под углом π/𝑛 сферы другого семейства пересекаются под углом π/𝑛 и любая сфера первого семейства ортогональна любой сфере второго семейства.

Случай двух взаимно ортогональных сфер

(см. рис. IV в конце этого тома)

168. Пусть 𝐴 и 𝐵 - центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямым углом по окружности, проходящей через точки 𝐷 и 𝐷 (см. рис. 12), и пусть прямая 𝐷𝐷' пересекает линию центров в точке 𝐶. Тогда точка 𝐶 является изображением 𝐴 в сфере 𝐵, а также изображением 𝐵 в сфере 𝐴. Если 𝐴𝐷=α a 𝐵𝐷=α, то 𝐴𝐵=√α²+β² и если в точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 поместить соответственно количества электричества α, β и -αβ/√α²+β², то обе сферы будут эквипотенциальными поверхностями с единичным потенциалом.

Рис. 12