Предположим, что эта задача решена, и что точка 𝑃 находится внутри поверхности. Тогда во всех точках вне поверхности потенциал поверхностного распределения равен и противоположен по знаку потенциалу точки 𝑃. Таким образом, поверхностное распределение центробарично 4 и его действие во всех внешних точках эквивалентно действию единичного положительного заряда в точке 𝑃.
4 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 526.
99 а. Если положить в Теореме Грина Ψ=Φ, то мы получим
∬
Ψ
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Ψ
𝑑ς
=
∭
(∇Ψ)²
𝑑ς
.
(16)
Если Ψ - потенциал распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью ρ и на проводниках с поверхностями 𝑠1 𝑠2 и т. д., имеющих потенциалы Ψ1, Ψ2 и т. д., с поверхностной плотностью σ1, σ2 и т. д., то
∇²Ψ
=
4πρ
,
(17)
𝑑Ψ
𝑑ν
=
-4πσ
(18)
(𝑑ν направлено наружу от проводника) и
∬
𝑑Ψ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
=
-4π𝑒
1
,
(19)
где 𝑒1 - заряд поверхности 𝑠1.
Поделив (16) на -8π получим
½(
Ψ
1
𝑒
1
+
Ψ
2
𝑒
2
+
…)
+½
∭
Ψρ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(20)
Первый член слева представляет собой электрическую энергию системы, обусловленную поверхностными распределениями, а второй - энергию, обусловленную объёмным распределением электричества в поле, если таковое распределение имеется.
Таким образом, правая часть уравнения выражает полную электрическую энергию системы при заданном потенциале как функции координат.
Поскольку мы часто будем пользоваться этим объёмным интегралом, мы введём для него специальное обозначение 𝑊ψ так что
𝑊
ψ
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(21)
Если заряд распределён лишь на поверхностях проводников, то ρ=0 и второй член слева в (20) отсутствует.
Первый член слева выражает, как и в п. 84, энергию заряженной системы через заряды и потенциалы проводников, мы обозначаем это выражение через 𝑊.
99 б. Пусть Ψ - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая тому условию, что на замкнутой поверхности 𝑠 она принимает во всех точках известные значения Ψ. Значения Ψ в точках вне поверхности s совершенно произвольны.
Напишем интеграл
𝑊
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(22)
где интегрирование производится по объёму внутри поверхности 𝑠. Докажем, что если Ψ1 - такая из функций Ψ, удовлетворяющих условию на поверхности, которая удовлетворяет также уравнению Лапласа
∇²Ψ
1
=
0
(23)
во всех точках внутри поверхности, то значение 𝑊1 интеграла 𝑊, вычисленное для 𝑊1, меньше, чем для любой другой функции, отличающейся от 𝑊1 хотя бы в одной точке внутри поверхности.
Действительно, пусть Ψ - любая функция, совпадающая с Ψ1 на поверхности, но не совпадающая всюду внутри поверхности, и положим
Ψ
=
Ψ
1
+
Ψ
2
.
(24)
Тогда Ψ2 обращается в нуль во всех точках поверхности.
Значение 𝑊 для Ψ равно, очевидно,
𝑊
=
𝑊
1
+
𝑊
2
+
+
1
4π
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
𝑑Ψ2
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
𝑑Ψ2
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
𝑑Ψ2
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(25)
По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде
1
4π
∭
Ψ
2
∇²Ψ
1
𝑑ς
-
1
4π
∬
Ψ
2
𝑑Ψ1
𝑑ν
𝑑𝑠
.
(26)
Объёмный интеграл обращается в нуль, так как ∇²Ψ1=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности Ψ2=0. Таким образом, уравнение (25) принимает вид
𝑊
=
𝑊
1
+
𝑊
2
.
(27)
Но подынтегральное выражение в интеграле 𝑊2 представляет собой сумму трёх квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулём. Итак, если 𝑊2 не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, 𝑊 больше 𝑊1. Если 𝑊2 равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (𝑑Ψ2/𝑑𝑥)=0, (𝑑Ψ2/𝑑𝑦)=0, (𝑑Ψ2/𝑑𝑧)=0 во всех точках внутри поверхности, а Ψ2 постоянно внутри поверхности. Но на поверхности Ψ2=0, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. Ψ=Ψ1, так что, если 𝑊 не больше 𝑊1, то Ψ должно совпадать с Ψ1 во всех точках внутри поверхности.
