∬
σ
𝑟'
𝑑𝑠
,
(9)
где 𝑟 и 𝑟' соответственно расстояния от точек 𝑃 и 𝑃'.
Полагая Φ=1/𝑟 и применив Теорему Грина к объёму внутри поверхности с учётом того, что ∇²Φ=0 и ∇²Ψ=0 в области интегрирования, получим
∬
Ψ
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
-
4πΨ
𝑃
=
∬
1
𝑟
𝑑Ψ
𝑑ν'
𝑑𝑠
,
(10)
где Ψ𝑃 - значение Ψ в точке 𝑃.
Применим ещё раз эту теорему к объёму, ограниченному поверхностью 𝑠 и охватывающей её поверхностью на бесконечно большом расстоянии 𝑎. Вклад в поверхностный интеграл от бесконечно удалённой поверхности будет порядка 1/𝑎 и может быть опущен, откуда
∬
Ψ'
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
=
∬
1
𝑟
𝑑Ψ'
𝑑ν
𝑑𝑠
.
(11)
Но на поверхности Ψ=Ψ, а поскольку нормали ν и ν' направлены в противоположные стороны, то
𝑑𝑟-1
𝑑ν
𝑑𝑠
+
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
=
0.
Таким образом, при сложении уравнений (10) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим
-4πΨ
𝑃
=
∬
1
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑ν'
+
𝑑Ψ'
𝑑ν
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(12)
97 б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале Ψ в каждой точке замкнутой поверхности 𝑠 можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если ∇²Ψ=0 вне и внутри поверхности.
Для этого он выбрал функцию Φ такой, что вблизи точки 𝑃 она близка к 1/𝑟, а на поверхности 𝑠 равна нулю, причём в каждой точке внутри поверхности ∇²Φ=0.
Существование такой функции Грин доказывает из физических соображений: если представить себе, что 𝑠 - проводящая заземлённая поверхность, а в точке 𝑃 находится единичный заряд, то соответствующий потенциал удовлетворял бы приведённым условиям. Действительно, если поверхность 𝑠 заземлена, то потенциал в каждой её точке должен равняться нулю, а поскольку потенциал создан зарядом в точке 𝑃 и наведёнными зарядами на 𝑠, то ∇²Φ=0 во всех точках внутри поверхности.
Применяя к этому случаю Теорему Грина, получим
4πΨ
𝑃
=
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν'
𝑑𝑠
,
(13)
где Ψ под интегралом означает заданное значение потенциала на элементе поверхности 𝑑𝑠. Если σ𝑃 - плотность электричества, наведённого единичным зарядом в точке 𝑃, то
4πσ
𝑃
+
𝑑Φ
𝑑ν'
=
0
(14)
и уравнение (13) можно переписать в виде
Ψ
𝑃
=
-
∬
𝑃σ
𝑑𝑠
,
*
(15)
* По изданию Dover Publication 0-486-60636-8 1954 г. Ψ𝑃=-∬Ψσ𝑑𝑠
где σ - поверхностная плотность электричества, индуцированная на 𝑑𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.
Таким образом, если значение σ известно в каждой точке поверхности для данного положения точки 𝑃, то мы можем рассчитать простым интегрированием потенциал в точке 𝑃 при заданном потенциале в каждой точке поверхности и при условии ∇²Ψ=0 внутри поверхности.
Ниже мы покажем, что если мы нашли решение Ψ, удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.
Функция Грина
98. Пусть замкнутая поверхность s находится под нулевым потенциалом. Пусть 𝑃 и 𝑄 - две точки с положительной стороны от поверхности 𝑠 (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) и пусть в точке 𝑃 находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке 𝑄 состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке 𝑃, другая - обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности 𝑠 зарядом в 𝑃. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через 𝐺𝑝𝑞.
Функция Грина зависит от положения двух точек 𝑃 и 𝑄; вид функции зависит от формы поверхности 𝑠. Она была рассчитана для сферической поверхности и ещё для нескольких других случаев. Функция Грина даёт потенциал в точке 𝑄, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности 𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.
Фактический потенциал в точке 𝑄, создаваемый зарядом в точке 𝑃 и наводимыми им зарядами на 𝑠, равен 1/𝑟𝑝𝑞+𝐺𝑝𝑞, где 𝑟𝑝𝑞 - расстояние от 𝑃 до 𝑄.
На поверхности 𝑠 и во всех точках по отрицательную сторону от 𝑠 потенциал равен нулю, так что
𝐺
𝑝𝑎
=
-(1/𝑟
𝑝𝑎
)
,
(1)
где индекс 𝑎 показывает, что вместо точки 𝑄 взята точка 𝐴 на поверхности 𝑠.
Если обозначить через σ𝑝𝑎' поверхностную плотность в точке 𝐴' на поверхности 𝑠, то, поскольку 𝐺𝑝𝑞 является потенциалом, создаваемым в точке 𝑄 поверхностным распределением,
𝐺
𝑝𝑞
=
∬
(σ
𝑝𝑎'
/𝑟
𝑞𝑎'
)
𝑑𝑠'
,
(2)
где 𝑑𝑠' -элемент поверхности 𝑠 у точки 𝐴', и интегрирование производится по всей поверхности 𝑠.
Если бы единичный заряд был расположен в точке 𝑄, то, согласно (1), мы имели бы
(1/𝑟
𝑝𝑎'
)
=-
𝐺
𝑝𝑎'
(3)
=-
∬
(σ
𝑞𝑎
/𝑟
𝑎𝑎'
)
𝑑𝑠
,
(4)
где σ𝑞𝑎 -плотность в точке 𝐴 наводимая единичным зарядом в 𝑄, 𝑑𝑠 - элемент поверхности, а 𝑟𝑎𝑎' -расстояние между точками 𝐴 и 𝐴'. Подставляя это значение 1/𝑟𝑎𝑎' в выражение для 𝐺𝑝𝑞, получим
𝐺
𝑝𝑞
=-
∬∬
σ𝑞𝑎σ𝑞𝑎'
𝑟𝑎𝑎'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(5)
Поскольку это выражение не меняется от перестановки индексов 𝑞 и 𝑝, мы заключаем, что
𝐺
𝑝𝑞
=
𝐺
𝑞𝑝
.
(6)
К этому результату мы пришли ещё в п. 86, но теперь мы видим, что он выводится математически методом, позволяющим рассчитать функцию Грина.
Предположим, что у нас имеется произвольное распределение электричества, и поместим в поле точечный единичный заряд. Пусть поверхность нулевого потенциала полностью отделяет эту точку от имеющегося распределения заряда. Тогда, приняв эту поверхность за поверхность 𝑠, а точку - за точку 𝑃, получим, что функция Грина для любой точки с той же стороны поверхности, что и 𝑃, будет совпадать с потенциалом распределения электричества, существующего по другую сторону поверхности. Таким способом можно построить сколько угодно примеров, позволяющих найти функцию Грина для частных случаев расположения точки 𝑃. Значительно труднее найти вид функции при заданной поверхности s и при произвольном положении точки 𝑃, хотя, как мы показали, математически это возможно.
