𝑛ϰ
⎡
⎢
⎣
∬
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
∇²Φ
𝑑ς
⎤
⎥
⎦
,
который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.
96 в. Если область ς двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области ς, а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).
Пусть 𝑠1 - одна из этих диафрагм, а ϰ1, - соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область ς расположена по обе стороны от диафрагмы 𝑠1, то каждый элемент 𝑠1 войдёт дважды в поверхностный интеграл.
Пусть нормаль ν1 проведена в положительную сторону 𝑑𝑠1 a ν'1 - в отрицательную. Тогда (𝑑Φ/𝑑ν'1) = -(𝑑Φ/𝑑ν1) и Ψ'1=Ψ1+ϰ1, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный 𝑑𝑠1, будет равен
Ψ
1
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
-
Ψ'
1
𝑑Φ
𝑑ν'1
𝑑𝑠
1
=
-ϰ
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
,
поскольку 𝑑ν1 - элемент внутренней нормали к положительной поверхности.
Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
ϰ
1
∬
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
-…-
ϰ
𝑛
∬
𝑑Φ
𝑑ν𝑛
𝑑𝑠
𝑛
-
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
,
(4a)
где 𝑑ν - элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берётся по граничной поверхности, а остальные - по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура.
Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем 2, а первое её применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону 3.
2 «Über Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen», Crelle, 1858. Англ, перевод проф. Тэта; Phil. Mag., 1867 (I).
3 «On Vortex Motion», Trans. R. S. Edin., XXV, part. I, p. 241 (1867).
96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем Φ, не удовлетворяет тому условию, что сама функция и её первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке 𝑃 этой области, и только в ней, причём вблизи точки 𝑃 функция Φ равна Φ0+𝑒/𝑟, где Φ0 - конечная и непрерывная величина, а 𝑟 - расстояние от 𝑃. Такой случай имеет место, если Φ - потенциал количества электричества 𝑒, сосредоточенного в точке 𝑃, и любого распределения электричества с объёмной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области.
Предположим теперь, что вокруг точки 𝑃 как центра описана сфера очень малого радиуса 𝑎. Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности 𝑠, функция Φ никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы.
При вычислении объёмных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объёму малой сферы.
Но интеграл
∭
Φ∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
по объёму сферы не может по абсолютной величине превосходить
(∇²Ψ)
𝑔
∭
Φ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
т.е.
(∇²Ψ)
𝑔
⎛
⎜
⎝
2π𝑒𝑎²
+
4
3
π𝑎³
Φ
0
⎞
⎟
⎠
,
где индекс 𝑔 какой-либо величины означает наибольшее численное значение этой величины внутри рассматриваемой сферы.
Таким образом, этот объёмный интеграл порядка 𝑎² и может быть опущен при стремлении 𝑎 к нулю.
Второй объёмный интеграл
∭
Ψ∇²Φ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
мы будем считать взятым по объёму между малой сферой и поверхностью 𝑠 так что область интегрирования не включает точки, где Φ обращается в бесконечность.
Поверхностный интеграл
∬
Φ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠'
для сферы не может численно превосходить
Φ
𝑔
∬
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠'
Но по Теореме III, п. 21,
∬
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
=-
∭
∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
так как здесь 𝑑ν отсчитывается наружу от сферы. Этот интеграл не может численно превосходить (∇²Ψ)𝑔⋅4/3⋅π𝑎³, а Φ𝑔 на поверхности примерно равно 𝑒/𝑎 так что
∬
Φ
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
не может численно превосходить
4
3
π𝑎²𝑒
(∇²Ψ)
𝑔
,
т.е. он порядка 𝑎² и в пределе при 𝑎, стремящемся к нулю, может быть опущен.
Однако поверхностный интеграл по сфере, стоящий в правой части равенства (4):
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠'
,
не обращается в нуль, так как
∬
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠'
=
-4π𝑒
,
𝑑ν отсчитывается наружу от сферы).
Обозначая через Ψ0 значение Ψ в точке 𝑃, получим
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
=
-4π𝑒
Ψ
0
.
Таким образом, уравнение (4) принимает вид
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
-4π𝑒
Ψ
0
=
=
∬
Φ
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Φ∇²Ψ
𝑑ς
.
(4b)
97 а. Следуя Грину, применим этот вариант Теоремы Грина для определения поверхностной плотности распределения, создающего потенциал, значения которого заданы внутри и вне заданной замкнутой поверхности. Эти значения должны совпадать на поверхности; внутри поверхности ∇²Ψ=0, а вне неё ∇²Ψ'=0, где Ψ и Ψ' означают потенциалы внутри и вне поверхности.
Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности σ а потенциалы во внутренней точке 𝑃 и во внешней точке 𝑃' находятся интегрированием:
Ψ
𝑃
=
∬
σ
𝑟
𝑑𝑠
,
Ψ'
𝑃'
=
