В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев её применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать.
В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определённой, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность её дальнейших обобщений.
До сих пор мы обозначали потенциал буквой 𝑉. Мы будем продолжать пользоваться этим обозначением и дальше в пределах электростатики. Однако в этой главе, а также в тех разделах второго тома, где электрический потенциал встречается в электромагнитных расчётах, мы будем использовать специальное обозначение Ψ для электрического потенциала.
Теорема Грина
96 а. Следующая важная теорема дана Джорджем Грином в его «Опыте применения математики к электричеству и магнетизму».
Теорема эта относится к пространству, ограниченному замкнутой поверхностью s. Мы будем называть это конечное пространство Полем. Пусть ν - нормаль, проведённая от поверхности в сторону поля, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы этой нормали. Тогда выражение
𝑙
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
𝑑Ψ
𝑑ν
(1)
даёт скорость изменения функции Ψ при движении вдоль нормали ν. В дальнейшем будет считаться, что значение 𝑑Ψ/𝑑ν берётся на самой поверхности, где ν=0. Будем, как и в п. 26 и 77 пользоваться обозначением
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
=
-∇²Ψ
,
(2)
а для двух функций Ψ и Φ будем писать
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
=
-𝑆.
∇Ψ
∇Φ
.
(3)
Читатель, незнакомый с методом Кватернионов, может, если угодно, считать выражения ∇²Ψ и 𝑆.∇Ψ∇Φ просто удобными сокращёнными обозначениями соответствующих величин, к которым они приравнены выше, а поскольку мы будем в дальнейшем использовать лишь обычные декартовы координаты, то Кватернионное истолкование этих выражений нам не понадобится. Мы, однако, пользуемся именно этими обозначениями, а не произвольными другими сокращениями, поскольку на языке Квартернионов они полностью представляют соответствующую величину. Оператор ∇ в применении к скалярной функции Ψ даёт пространственную вариацию этой функции, а выражение -𝑆.∇Ψ∇Φ даёт скалярную часть произведения двух пространственных вариаций, т. е. произведение одной из пространственных вариаций на составляющую другой вариации в направлении первой. Выражение 𝑑Ψ/𝑑ν записывается в терминах Кватернионов как 𝑆.𝑈ν∇Φ где 𝑈ν - единичный вектор в направлении нормали. На данном этапе не видно особой выгоды в применении этого обозначения, однако оно окажется удобным при рассмотрении анизотропных сред.
Доказательство теоремы Грина
Пусть Ψ и Φ - две функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечные и непрерывные вместе со своими первыми производными в односвязной области ς, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑠. Тогда
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
=
∭
𝑆.∇Ψ∇Φ
𝑑ς
=
=
∬
Φ
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Φ∇²Ψ
𝑑ς
,
(4)
где двойное интегрирование производится по всей замкнутой поверхности 𝑠 а тройное - по полю ς, ограниченному этой поверхностью.
Для доказательства положим в Теореме III, п. 21,
𝑋
=
Ψ
𝑑Φ
𝑑𝑥
,
𝑌
=
Ψ
𝑑Φ
𝑑𝑦
,
𝑍
=
Ψ
𝑑Φ
𝑑𝑧
.
(5)
Тогда
𝑅 cos ε
=
-Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
=-
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
,
(6)
согласно (l), и
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑²Φ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Φ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Φ
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
=
=
-Ψ∇²Φ
-𝑆.
∇Ψ
∇Φ
,
(7)
согласно (2) и (3). По Теореме III
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑ς
,
так что (6) и (7) дают
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
=
∭
𝑆.
∇Ψ
∇Φ
𝑑ς
.
(8)
Поскольку в правой части равенства Ψ и Φ можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).
96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем Ψ, многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области ς.
Поскольку ∇Ψ и ∇Φ однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности Ψ оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение Ψ0 из многих значений Ψ в точке 𝐴 внутри области ς, то тем самым определяется значение функции Ψ в любой другой точке 𝑃. Действительно, поскольку выбранное значение Ψ является непрерывным внутри объёма, то значение Ψ в точке 𝑃 должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от 𝐴 к 𝑃, начиная со значения Ψ0 в точке 𝐴. Если бы значение Ψ в точке 𝑃 получалось различным для различных путей из 𝐴 в 𝑃, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от Ψ бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области ς, эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.
Таким образом, при заданном значении Ψ0 функции в точке 𝐴 её значение в точке 𝑃 определяется однозначно.
Если в точке 𝐴 выбрано какое-либо другое значение Ψ, скажем Ψ0+𝑛ϰ, то значение функции в точке 𝑃 будет Ψ+𝑛ϰ. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена
