𝐹:𝐹'
=
𝑉²𝐾:𝑉'²𝐾'
,
или
𝐹:𝐹'
=
𝑒²
𝐿²𝐾
:
𝑒'²
𝐿'²𝐾'
.
Первая пропорция показывает, что в подобных системах сила пропорциональна квадрату электродвижущей силы и индуктивной способности среды и не зависит от фактических размеров системы.
Следовательно, два проводника, помещённые в жидкость с индуктивной способностью больше, чем у воздуха, и заряженные до определённого потенциала, будут притягиваться сильнее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же потенциалах.
Вторая пропорция показывает, что если количество электричества на каждом теле задано, то силы пропорциональны квадратам зарядов и обратно пропорциональны квадратам расстояний, а также обратно пропорциональны индуктивным способностям сред. Следовательно, два проводника с заданными зарядами, помещённые в жидкость с индуктивной способностью большей, чем у воздуха, будут притягиваться слабее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же зарядах.
ГЛАВА IV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
95 а. Во второй главе мы рассчитали потенциальную функцию и исследовали некоторые её свойства, исходя из предположения, что существует непосредственное действие на расстоянии между заряженными телами, являющееся равнодействующей непосредственного воздействия различных заряженных элементов этих тел друг на друга.
Если этот метод исследования назвать прямым, то обратный ему метод будет заключаться в принятии предположения, что потенциал - это функция, обладающая теми свойствами, которые мы вывели выше, и в исследовании вида этой функции.
В прямом методе потенциал вычисляется по распределению заряда с помощью интегрирования, причём оказывается, что он удовлетворяет определённым уравнениям в частных производных. В обратном методе эти уравнения в частных производных считаются заданными, а ищется потенциал и распределение электричества.
Прямой метод применим лишь в тех случаях, когда задано распределение электричества. Если распределение заряда по проводнику подлежит определению, то следует применять обратный метод.
Мы должны показать, что обратный метод приводит во всех случаях ко вполне определённому результату, и установить некоторые общие теоремы, вытекающие из уравнения в частных производных Пуассона
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
+
4πρ
=
0.
Выражаемые этим уравнением математические идеи отличны по своему характеру от идей, выражаемых интегральным соотношением
𝑉
=
+∞
∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
∫
-∞
ρ
𝑟
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
𝑑𝑧'
.
В дифференциальном уравнении мы выражаем тот факт, что сумма вторых производных от 𝑉 в окрестности любой точки связана определённым образом с плотностью заряда в этой точке, и никак не связываем значение 𝑉 в данной точке со значениями ρ в различных точках, находящихся на конечном расстоянии от данной.
Наоборот, в определённом интеграле обозначенное через 𝑟 расстояние между точкой (𝑥', 𝑦', 𝑧'), в которой находится заряд, и точкой (𝑥, 𝑦, 𝑧), в которой нас интересует потенциал, явно входит в подынтегральное выражение.
Таким образом, интеграл является подходящим математическим выражением для теории взаимодействия частиц на расстоянии, в то время как дифференциальное уравнение подходит для теории взаимодействия смежных элементов среды.
Мы видели, что. результат интегрирования удовлетворяет дифференциальному уравнению. Теперь нужно показать, что это единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определённым условиям.
Тем самым мы не только установим математическую эквивалентность обоих выражений, но и подготовимся к переходу от теории прямого действия на расстоянии к теории взаимодействия смежных элементов среды.
95 б. Рассматриваемые в этой главе теоремы относятся к свойствам некоторых объёмных интегралов, взятых по конечной области пространства, которую мы будем называть электрическим полем.
Элементами этих интегралов, т. е. входящими в подынтегральное выражение величинами, являются либо квадрат некоторого вектора, величина и направление которого меняются от точки к точке, либо произведение одного вектора на проекцию другого вектора на его направление.
Из различных распределений векторной величины в пространстве два распределения представляют особый интерес.
Первое распределение - это такое, при котором вектор может быть представлен как пространственная вариация (см. п. 17) скалярной функции, называемой Потенциалом.
Такое распределение можно назвать невращательным, Безвихревым. Равнодействующая сила, возникающая из-за притяжения или отталкивания любой совокупности центров сил, при любом законе зависимости силы от расстояния имеет безвихревое распределение.
Второй тип распределения - такое распределение, при котором конвергенция (сходимость) (п. 25) равна нулю в каждой точке. Такое распределение можно назвать Соленоидальным. Скорость несжимаемой жидкости имеет соленоидальное распределение.
Если центральные силы, которые, как мы уже говорили, дают безвихревое распределение равнодействующей силы, меняются обратно пропорционально квадрату расстояния и если центры сил находятся вне поля, то распределение силы в поле будет как соленоидальным, так и безвихревым.
Если движение несжимаемой жидкости, которое, как мы уже отмечали, является соленоидальным, происходит под действием центральных сил, зависящих от расстояния, или под действием поверхностного давления на первоначально покоившуюся жидкость без трения, то распределение скоростей будет как безвихревым, так и соленоидальным.
Распределение, являющееся одновременно безвихревым и соленоидальным, мы будем называть Лапласовым распределением, поскольку Лаплас указал на ряд наиболее интересных свойств этого распределения.
Рассматриваемые в этой главе объёмные интегралы представляют собой, как мы увидим, выражения для энергии электрического поля. В первой группе теорем, начинающейся с теоремы Грина, энергия выражается через напряжённость электрического поля, являющуюся безвихревым вектором во всех случаях равновесия электричества. Показывается, что при заданных потенциалах поверхностей из всех безвихревых распределений наименьшую энергию имеет распределение, являющееся также и соленоидальным. Отсюда следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с потенциалами поверхностей.
Во второй группе теорем, включающей теорему Томсона, энергия выражается через электрическое смещение, являющееся соленоидальным вектором. Показывается, что при заданных зарядах поверхностей из всех соленоидальных распределений распределение, имеющее наименьшую энергию, является также и безвихревым. Отсюда также следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с заданными зарядами поверхностей.
Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему III из п. 21 1 где дан подробный вывод соотношения между объёмным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом. Нам нужно будет лишь подставить вместо 𝑋, 𝑌, и 𝑍 в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора.
1 Эта теорема была, по-видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в 1828 г., но опубликованной лишь в 1831 г. в Mem. de L'Acad. de St. Pétersbourg. T. I, p. 39. Её можно рассматривать, однако, как одну из форм уравнения непрерывности.
