Для продолговатого тела 𝐴3 легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки 𝐴1, 𝐴3 и 𝐴2, то оно может повысить потенциал 𝐴2, даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал 𝐴2, даже находясь полностью внутри сферы. Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора.
92. Если в поле вносится новый проводник 𝐴3, то ёмкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются.
Действительно, допустим, что 𝐴1 находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники - под нулевым. Поскольку заряд вновь внесённого проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд 𝐴1 и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников.
93 а. Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы изолированных заряженных проводников.
Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются при перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны 𝑉1, 𝑉2, …, 𝑉𝑛 до перемещения и 𝑉'1, 𝑉'2, …, 𝑉'𝑛 - после. Тогда электрическая энергия равна 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉) до перемещения и 𝑊'=(1/2)∑(𝑒𝑉') - после.
Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии 𝑊 и конечной энергии 𝑊' т.е. 𝑊-𝑊'=(1/2)∑[𝑒(𝑉-𝑉')].
Это выражение даёт значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом.
Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через φ переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через Φ - соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить φ. Тогда Φ𝑑φ=-𝑑𝑊𝑒, т.е. Φ=-(𝑑𝑊𝑒/𝑑φ), где 𝑊𝑒 - электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов.
93 б. Докажем, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊𝑉/𝑑φ) = 0.
У нас есть три различных выражения для энергии системы.
Во-первых, 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉). Это определённая функция от 𝑑 зарядов и 𝑑 потенциалов.
Во-вторых, 𝑊𝑒=(1/2)∑∑(𝑒𝑟𝑒𝑠𝑝𝑟𝑠), где 𝑟 и 𝑠 могут быть и одинаковыми и разными, причём в сумму включается как 𝑟𝑠, так и 𝑠𝑟. Это функция от 𝑛 зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть φ одна из этих переменных.
И, в-третьих, 𝑊𝑉=(1/2)∑∑(𝑉𝑟𝑉𝑠𝑞𝑟𝑠), где суммирование производится как и выше. Это функция от 𝑛 потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является φ.
Поскольку 𝑊=𝑊𝑒=𝑊𝑉, то 𝑊𝑒+𝑊𝑉-2𝑊=0.
Представим себе, что 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ как-то меняются согласованным образом. Тогда
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
-
𝑉
𝑟
⎞
⎟
⎠
δ𝑒
𝑟
⎤
⎥
⎦
+
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
-
𝑒
𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑉
𝑠
⎤
⎥
⎦
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑φ
+
𝑑𝑊𝑉
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
δφ
=
0.
Однако 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ не являются независимыми, так как лишь 𝑛+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑𝑒𝑟)=𝑉𝑟, так что первая сумма тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что (𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠) = 𝑒𝑠. (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊𝑉/𝑑φ) = 0.
Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными
93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна Φ=(𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна
∫
Φ𝑑φ
=
∫
𝑑𝑊
𝑉
=
𝑊'
𝑉
-𝑊
𝑉
,
т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.
Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.
Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.
О сравнении подобных заряженных систем
94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как 𝐿 к 𝐿', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как 𝐿 к 𝐿'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части 𝐴 и 𝐴' этих систем и предположить, что количество электричества на 𝐴 равно 𝑒, а на 𝐴' равно 𝑒', то создаваемые этими зарядами потенциалы 𝑉 и 𝑉' в соответствующих точках 𝐵 и 𝐵' будут равны 𝑉=(𝑒/𝐴𝐵), 𝑉'=(𝑒'/𝐴'𝐵'). Но 𝐴𝐵 относится к 𝐴'𝐵' как 𝐿 к 𝐿', так что 𝑒:𝑒 = 𝐿𝑉:𝐿'𝑉'.
В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны 𝐾 для первой и 𝐾' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как 𝑉 к 𝑉', а заряды в соответствующих частях систем - как 𝑒 к 𝑒', то 𝑒:𝑒' = 𝐿𝑉𝐾:𝐿'𝑉'𝐾'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как 𝐾 и 𝐾', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как 𝑉 к 𝑉'.
Отсюда следует, что если 𝑞 - какой-либо коэффициент ёмкости или индукции первой системы, a 𝑞' - соответствующий коэффициент второй системы, то 𝑞:𝑞' = 𝐿𝐾:𝐿'𝐾', а если 𝑝 и 𝑝' - соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то 𝑝:𝑝' = (1/𝐿𝐾):(1/𝐿'𝐾').
Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как 𝐿 к 𝐿'; если действующие на тела силы обозначить через 𝐹 к 𝐹', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как 𝐹𝐿 к 𝐹'𝐿'.
Но полная электрическая энергия равна полусумме произведений зарядов на потенциалы заряженных тел, так что, обозначая через 𝑊 и 𝑊' полную электрическую энергию двух подобных систем, получим 𝑊:𝑊'=𝑒𝑉:𝑒'𝑉', и разности энергий, получающихся при подобных перемещениях в обеих системах, будут находиться в том же отношении. Поскольку 𝐹𝐿 пропорционально работе электрической силы на перемещении, то 𝐹𝐿:𝐹'𝐿' = 𝑒𝑉:𝑒'𝑉'.
Комбинируя эти пропорции, мы найдём, что отношение силы, действующей на какое-либо тело в одной системе к силе, действующей на соответствующее тело во второй системе, равно
