В главе XI мы покажем (п. 146), что сфера диаметром 𝑏 на расстоянии 𝑟, большом по сравнению с 𝑏, уменьшает величину 𝑝₁₁ приблизительно на 𝑏3/(8𝑟4).
Отсюда следует, что если тело 𝐵 любой другой формы, и 𝑏 - его наибольший поперечный размер, то уменьшение 𝑝₁₁ должно быть меньше 𝑏3/(8𝑟4).
Поэтому если наибольший размер тела 𝐵 настолько мал по сравнению с расстоянием от тела 𝐴1 что величинами порядка 𝑏3/(8𝑟4) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для 𝑝₁₁ можно рассматривать обратную величину ёмкости уединённого тела 𝐴1.
90 а. Пусть ёмкость уединённого проводника 𝐴1 равна 𝐾1, ёмкость уединённого проводника 𝐴2 равна 𝐾2, и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно 𝑟, причём 𝑟 очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами 𝐴1 и 𝐴2. Тогда 𝑝₁₁=(1/𝐾1), 𝑝₁₂=(1/𝑟), 𝑝₂₂=(1/𝐾2), 𝑉₁=𝑒₁𝐾₁-1+𝑒₂𝑟-1, 𝑉₂=𝑒₁𝑟-1+𝑒₂𝐾₂-1.
Отсюда 𝑞₁₁=𝐾₁(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₁₂=𝐾₁𝐾₂𝑟-1(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₂₂=𝐾₂(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1.
Здесь 𝑞₁₁ и 𝑞₂₂ -ёмкости проводников 𝐴1 и 𝐴2, когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии 𝑟 друг от друга.
90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденсатором.
Пусть 𝐴 и 𝐵 - два проводника (электрода) конденсатора.
Пусть 𝐿 - ёмкость 𝐴, 𝑁 - ёмкость 𝐵, а 𝑀 - коэффициент взаимной индукции (следует помнить, что 𝑀 отрицательно, так что численные значения 𝐿+𝑀 и 𝐿+𝑁 меньше, чем 𝐿 и 𝑁).
Пусть 𝑎 и 𝑏 - электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии 𝑅 от первого, причём 𝑅 много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты ёмкости и индукции уединённого конденсатора 𝑎𝑏 равны соответственно 𝑙, 𝑛, 𝑚. Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого.
Положим
𝐷
=
𝐿𝑁-𝑀²
,
𝑑
=
𝑙𝑛-𝑚²
.
Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны
𝑝
𝐴𝐴
=
𝐷
-1
𝑁,
𝑝
𝑎𝑎
=
𝑑
-1
𝑛,
𝑝
𝐴𝐵
=
-𝐷
-1
𝑀,
𝑝
𝑎𝑏
=
-𝑑
-1
𝑚,
𝑝
𝐵𝐵
=
𝐷
-1
𝐿,
𝑝
𝑏𝑏
=
𝑑
-1
𝑙.
Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии 𝑅.
Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии 𝑅 равен 𝑅-1, так что 𝑝𝐴𝑎 = 𝑝𝐴𝑏 = 𝑝𝐵𝑎 = 𝑝𝐵𝑏 = 𝑅-1.
Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид
𝑉
𝐴
=
𝐷
-1
𝑁𝑒
𝐴
-
𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝐵
=
-𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐴
-
𝐷
-1
𝐿𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑎
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
+
𝑑
-1
𝑛𝑒
𝑎
-
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑏
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
-
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑎
+
𝑑
-1
𝑙𝑒
𝑏
.
Решая эти уравнения относительно зарядов, получим
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑙+𝑚)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑏
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
где 𝐿', 𝑀', 𝑁' - значения 𝐿, 𝑀, 𝑁' при внесении второго конденсатора в поле.
Если в поле вносится лишь один проводник 𝑎, то 𝑚=𝑛=0 и
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅𝑙(𝐿+𝑀)
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
.
Если имеется просто два проводника 𝐴 и 𝑎, то 𝑀=𝑁=𝑚=𝑛=0, и
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿
+
𝐿²𝑙
𝑅²-𝐿𝑙
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅𝐿𝑙
𝑅²-𝐿𝑙
,
что согласуется с выражениями, найденными в п. 90 а.
Величина 𝐿+2𝑀+𝑁 даёт полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах. Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора.
𝐿+𝑀 - заряд первого электрода, a 𝑀+𝑁 - заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше ёмкости самого электрода. Поэтому поправки в коэффициентах ёмкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же ёмкости.
Приближения такого рода часто полезны при оценке ёмкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников.
91. Если в поле вносится округлый проводник 𝐴3, размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала 𝐴1 относительно 𝐴2 увеличивается, если 𝐴3 находится внутри сферы, построенной на прямой 𝐴1𝐴2 как на диаметре, и уменьшается, если 𝐴3 вне этой сферы.
Действительно, единичный положительный заряд на 𝐴1 создаёт распределение электричества на 𝐴3, при котором +𝑒 находится на стороне, наиболее удалённой от 𝐴1 а -𝑒 - на стороне, ближайшей к 𝐴1. Потенциал на 𝐴2, создаваемый этим распределением электричества на 𝐴3, будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +𝑒 или -𝑒, ближе к 𝐴2, и если тело 𝐴3 не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол 𝐴1𝐴2𝐴3 тупым или острым, т. е. находится ли точка 𝐴3 внутри или вне сферы, построенной на 𝐴1𝐴2 как на диаметре.
