⎪
⎪
⎪
⎪
𝑝
11
…,
𝑝
1𝑛
⎪
⎪
⎪
⎪
…
…,
…
𝑝
𝑛1
…,
𝑝
𝑛𝑛
>0.
(22)
Эти 𝑛 условий необходимы и достаточны для того, чтобы квадратичная форма 𝑊𝑒 была существенно положительной 1. Но поскольку в выражении (16) проводники могут быть расположены в произвольном порядке, то положительным должен быть любой детерминант, образованный симметрично из коэффициентов, относящихся к любому сочетанию из 𝑛 проводников, причём число таких сочетаний равно 2𝑛-1 Однако из всех этих условий лишь 𝑛 оказываются независимыми.
1 См. Williamson, «Differential Calculus», 3rd edition, p. 407.
Коэффициенты ёмкости и индукции удовлетворяют таким же условиям.
89 б.Все коэффициенты потенциала положительны, причём ни один из коэффициентов 𝑝𝑟𝑠 не превосходит 𝑝𝑟𝑟 или 𝑝𝑠𝑠.
Пусть проводнику 𝐴𝑟 сообщён единичный заряд, а все остальные проводники не заряжены. При этом образуется некоторая система эквипотенциальных поверхностей. Одна из них совпадает с поверхностью проводника 𝐴𝑟; потенциал на ней равен 𝑝𝑟𝑟. Если проводник 𝐴𝑠 расположен в полости внутри проводника 𝐴𝑟, т.е. полностью окружён им, то потенциал 𝐴𝑠 тоже равен 𝑝𝑟𝑟.
Если же проводник 𝐴𝑠 находится вне 𝐴𝑟, то его потенциал 𝑝𝑟𝑠 будет заключаться между 𝑝𝑟𝑟 и нулём.
Действительно, рассмотрим силовые линии, выходящие из заряженного проводника 𝐴𝑟. Заряд проводника измеряется превышением числа выходящих из проводника линий над числом заканчивающихся на нём. Поэтому для незаряженного проводника число входящих в проводник линий должно равняться числу выходящих из него. Линии, входящие в проводник, приходят из области с большим потенциалом, а выходящие линии уходят в области с меньшим потенциалом. Поэтому потенциал незаряженного проводника должен быть промежуточным между наибольшим и наименьшим потенциалом в поле, и, следовательно наибольший и наименьший потенциал не может достигаться на незаряженное теле.
Таким образом, наибольшим потенциалом должен быть потенциал 𝑝𝑟𝑟 заряженного тела 𝐴𝑟, а наименьшим - потенциал на бесконечном расстоянии, равный нулю; потенциалы всех остальных проводников 𝑝𝑟𝑠 должны лежать между 𝑝𝑟𝑟 и нулём.
Если 𝐴𝑠 полностью охватывает 𝐴𝑡, то 𝑝𝑟𝑠 = 𝑝𝑟𝑡.
89 в. Ни один из коэффициентов индукции не может быть положительным и сумма всех коэффициентов индукции, относящихся к определённому проводнику, численно не превышает коэффициента ёмкости этого проводника, который всегда положителен.
Пусть 𝐴𝑟 находится под единичным потенциалом, тогда как на всех остальных проводниках поддерживается нулевой потенциал. Тогда заряд на 𝐴𝑟 будет равен 𝑞𝑟𝑟, а на любом прочем проводнике 𝐴𝑠 равен 𝑞𝑟𝑠.
Число силовых линий, выходящих из 𝐴𝑟, равно 𝑞𝑟𝑟. Часть из них кончается на других проводниках, часть может уходить в бесконечность, но ни одна силовая линия не может идти с одного из прочих проводников на другой или же в бесконечность, так как все они находятся под нулевым потенциалом.
Ни одна силовая линия не может выйти из такого проводника 𝐴𝑠, так как ни одна область поля не имеет потенциал ниже, чем на 𝐴𝑠. Если проводник 𝐴𝑠 полностью отрезан от проводника 𝐴𝑟 замкнутой поверхностью одного из проводников, то 𝑞𝑟𝑠 равно нулю. Если 𝐴𝑠 не отрезано полностью, то 𝑞𝑟𝑠 отрицательно.
Если один из проводников 𝐴𝑡 полностью окружает 𝐴𝑟, то все силовые линии, выходящие из 𝐴𝑟, попадают на 𝐴𝑡, и на проводники, находящиеся внутри 𝐴𝑡, и сумма коэффициентов индукции этих проводников по отношению к 𝐴𝑟, будет равна величине 𝑞𝑟𝑟 с обратным знаком. Если же 𝐴𝑟 не полностью окружено проводником, то арифметическая сумма коэффициентов индукции 𝑞𝑟𝑠 будет меньше, чем 𝑞𝑟𝑟.
Мы вывели эти две теоремы независимо, исходя из физических соображений. Предоставляем любителям математики установить, является ли одна из них следствием другой.
89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его ёмкости.
Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника. Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.
Потенциал на расстоянии 𝑐 от электрического центра имеет значение между
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1+
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
и
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1-
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
где 𝑒 - заряд проводника, а 𝑎 -наибольшее расстояние точек его поверхности от электрического центра.
Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии 𝑎 по обе стороны от электрического центра, то первое из приведённых выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе - на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса 𝑎 потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя.
Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/𝑐', где 𝑐' отличается от расстояния 𝑐 между их электрическими центрами не больше чем на (𝑎²+𝑏²)/𝑐. Здесь 𝑎 и 𝑏 - наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров.
89 д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются.
Действительно, предположим сначала, что новое тело 𝐵 - диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несёт на себе никаких зарядов. Тогда если одному из проводников 𝐴1 сообщить заряд 𝑒1, то на распределение электричества на проводниках тело 𝐵 не повлияет, так как 𝐵 остаётся всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (𝑒₁𝑉₁)/2 = (𝑒₁²𝑝₁₁)/2.
Пусть теперь 𝐵 становится проводником. Заряд начнёт по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменьшится, так что величина (𝑒₁²𝑝₁₁)/2 должна уменьшиться.
Поскольку 𝑒₁ остаётся постоянным, должно уменьшиться 𝑝₁₁.
Если к телу 𝐵 будет добавлено другое тело 𝑏, находящееся в контакте с ним, то 𝑝₁₁ ещё больше уменьшится.
В самом деле, предположим сначала, что тела 𝐵 и 𝑏 не соединены. Внесение нового тела 𝑏 уменьшит 𝑝₁₁. Пусть после этого тела 𝐵 и 𝑏 соединены. Если какой-либо заряд перейдёт с одного тела на другое, то он пойдёт от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, 𝑝₁₁ опять уменьшится.
Таким образом, уменьшение 𝑝₁₁ проводящим телом 𝐵 больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в 𝐵, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает 𝐵.
