⎛

⎝

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

Таким же путём можно найти систему изображений, электрически эквивалентных четырём сферическим поверхностям, находящимся под единичным потенциалом и пересекающимся под прямыми углами.

Если радиус четвёртой сферы равен δ, то, поместив в центр этой сферы заряд δ, получим заряд на пересечении линии центров любых двух сфер, скажем α и β, с их плоскостью пересечения, равный

-

1

.

⎛

⎝

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

Заряд на пересечении плоскости любых трёх центров 𝐴𝐵𝐶 с перпендикуляром из центра 𝐷 равен

+

1

,

⎛

⎝

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

а заряд на пересечении четырёх перпендикуляров равен

-

1

.

⎛

⎝

1

+

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

δ²

Система четырёх пересекающихся под прямыми углами сфер под нулевым потенциалом, находящихся под воздействием единичного точечного заряда

170. Обозначим эти сферы через 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, а точку нахождения заряда - через 𝑂. Построим четыре сферы 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁, 𝐷₁, каждая из которых, скажем сфера 𝐴₁, проходит через точку 𝑂 и пересекает три заданных сферы, в нашем случае 𝐵, 𝐶, 𝐷, под прямыми углами. Построим далее шесть сфер (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), (𝑏𝑐), (𝑏𝑑), (𝑐𝑑), каждая из которых проходит через точку 𝑂 и через окружность пересечения двух из первоначальных сфер.

Три сферы 𝐵₁, 𝐶₁, 𝐷₁ пересекутся и в другой точке, отличной, от 𝑂. Обозначим эту точку через 𝐴', и пусть 𝐵', 𝐶', 𝐷', - соответственно пересечения сфер (𝐶₁,𝐷₁,𝐴₁), (𝐷₁,𝐴₁,𝐵₁), (𝐴₁,𝐵₁,𝐶₁). Любые две из этих сфер (скажем, 𝐴₁, 𝐵₁) пересекаются с одной из шести сфер (𝑐𝑑) в точке (𝑎'𝑏'). Всего существует шесть таких точек.

Любая из сфер типа 𝐴₁ пересекается с тремя сферами из шестёрки (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), в точке 𝑎. Таких точек всего четыре. Наконец, шесть сфер (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), (𝑏𝑐), (𝑏𝑑), (𝑐𝑑) пересекаются, помимо точки 𝑂, в одной точке 𝑆.

Если теперь эту систему инвертировать по отношению к сфере единичного радиуса с центром в 𝑂, то четыре сферы 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 инвертируются в сферы, а остальные десять сфер перейдут в плоскости. Первые четыре точки пересечения 𝐴', 𝐵', 𝐶', 𝐷' переходят в центры сфер, а остальные соответствуют остальным описанным выше одиннадцати точкам. Эти пятнадцать точек образуют изображение точки 𝑂 в системе четырёх сфер.

В точке 𝐴', которая является изображением 𝑂 в сфере 𝐴, мы должны поместить заряд, равный изображению 𝑂, т. е. -α/𝑎, где α - радиус сферы 𝐴, а 𝑎 - расстояние её центра от 𝑂. Аналогично мы должны поместить надлежащие заряды в точки 𝐵', 𝐶', 𝐷'.

Заряд в любой из остальных одиннадцати точек может быть найден из выражений, приведённых в предыдущем пункте, с заменой α, β, γ, δ, на α', β', γ', δ', и умножением результата для каждой точки на её расстояние от точки 𝑂. Здесь

α'

=

-

α

𝑎²-α²

,

β'

=

-

β

𝑏²-β²

,

γ'

=

-

γ

𝑐²-γ²

,

δ'

=

-

δ

𝑑²-δ²

.

[Приведённые в пп. 169, 170 случаи можно рассмотреть следующим образом: взяв три координатные плоскости, перпендикулярные друг другу, поместим в систему восьми точек (±½α, ±½β, ±½γ) заряды ±𝑒, причём отрицательные заряды помещаются в точки, имеющие одну или три отрицательные координаты. Очевидно, что координатные плоскости находятся под нулевым потенциалом. Теперь, произведя инверсию по отношению к любой точке, мы получим случай трёх сфер, пересекающихся под прямыми углами и находящихся под воздействием точечного заряда. Если произвести инверсию по отношению к одному из точечных зарядов, мы получим решение для случая свободно заряженного проводника в форме трёх сфер радиусов α, β, γ, пересекающихся под прямыми углами.

Если к полученной выше системе электрических точечных зарядов добавить их изображения в сфере с центром в начале координат, то, как легко видеть, помимо трёх координатных плоскостей, поверхность сферы также становится частью поверхности нулевого потенциала.]

Две непересекающиеся сферы

171. Если область пространства ограничена двумя непересекающимися сферами, то последовательные изображения точечного заряда, расположенного внутри этой области, образуют две бесконечные последовательности точек, ни одна из которых не расположена между сферическими поверхностями, так что они удовлетворяют условию применимости метода электрических изображений.

Любые две непересекающиеся сферы можна инвертировать в две концентрические сферы, взяв за точку инверсии любую из двух общих точек инверсии этой пары сфер.

Поэтому мы начнём со случая двух заземлённых концентрических сферических поверхностей, находящихся под воздействием точечного заряда 𝑃, помещённого между ними.

Пусть радиус первой сферы равен 𝑏, второй сферы - 𝑏𝑒^ϖ, а расстояние действующего заряда от центра 𝑏𝑒^𝑢

Все последующие изображения будут находиться на том же радиусе, что и действующий заряд.

Рис. 14

Пусть 𝑄₀ - изображение точки 𝑃 в первой сфере (рис. 14), 𝑃₁-изображение 𝑄₀ во второй сфере, 𝑄₁ - изображение 𝑃₁ в первой сфере и т. д. Тогда 𝑂𝑃_𝑠⋅𝑂𝑄_𝑠=𝑏² и 𝑂𝑃_𝑠⋅𝑂𝑄_𝑠-1=𝑏²𝑒^2ϖ, кроме того, 𝑂𝑄₀=𝑏𝑒^-𝑢, 𝑂𝑃₁=𝑏𝑒^𝑢+2ϖ, 𝑂𝑄₁=𝑏𝑒^-(𝑢+2ϖ) и т. д.

Отсюда 𝑂𝑃_𝑠=𝑏𝑒^{(𝑢+2𝑠ϖ)}, 𝑂𝑄_𝑠=𝑏𝑒^{-(𝑢+2𝑠ϖ)}.

Если заряд в точке 𝑃 обозначить через 𝑃, а заряд в точке 𝑃_𝑠 - через 𝑃_𝑠, то

𝑃

_𝑠

=

𝑃𝑒

^ϖ

,

𝑄

_𝑠

=

-𝑃𝑒

^{-(𝑢+2𝑠ϖ)}

.

Пусть далее 𝑄'₁ - изображение 𝑃 во второй сфере, 𝑃'₁ - изображение 𝑄'₁ в первой сфере и т. д. Тогда

𝑂

𝑄'

₁

=

𝑏𝑒

^2ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₁

=

𝑏𝑒

^𝑢-2ϖ

,

𝑂

𝑄'

₂

=

𝑏𝑒

^4ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₂

=

𝑏𝑒

^𝑢-4ϖ

,

𝑂

𝑄'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^2𝑠ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^𝑢-2𝑠ϖ

,

𝑄'

_𝑠

=

-𝑃𝑒

^𝑠ϖ-𝑢