(31)
где значение производной следует брать в центре сферы.
Если 𝑛 меньше 𝑚, то в результате дифференцирования получится однородная функция от 𝑥, 𝑦 и 𝑧 степени 𝑚-𝑛, значение которой в центре сферы равно нулю. Если 𝑛 равно 𝑚, то в результате дифференцирования получится постоянная, значение которой мы определим в п. 134. При дальнейшем дифференцировании получится нуль. Таким образом, интеграл ∬𝑌𝑚𝑌𝑛𝑑𝑠 равен нулю при неодинаковых 𝑛 и 𝑚.
Мы пришли к этому результату чисто математическим путём, потому что, хотя мы и пользовались такими физическими понятиями, как электрическая энергия, все эти понятия рассматривались не как физическое явление, подлежащее исследованию, а как определённое математическое выражение. Математик может с равным правом воспользоваться этими или какими-либо другими математическими функциями, которые он сочтёт полезными, но физик, которому приходится проводить математические преобразования, понимает их лучше всего, если каждый этап расчёта допускает физическое истолкование.
133. Определим теперь вид поверхностной гармоники 𝑌𝑛 в зависимости от положения точки 𝑃 на сфере по отношению к 𝑚 полюсам гармоники.
Мы имеем
𝑌
0
=
1,
𝑌
1
=
μ
1
,
𝑌
2
=
3
2
μ
1
μ
2
-
1
2
λ
12
,
𝑌
3
=
5
2
μ
1
μ
2
μ
3
-
1
2
(
μ
1
λ
23
+
μ
2
λ
31
+
μ
3
λ
12
),
(32)
и т.д.
Таким образом, каждое слагаемое в 𝑌𝑛 состоит из произведений косинусов, причём множители типа μ - с одним индексом, это косинусы углов между 𝑃 и различными полюсами, а множители типа λ - с двумя индексами, это косинусы углов между полюсами.
Поскольку каждая ось вводится одним из 𝑛 дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.
Значит, если в каком-либо слагаемом имеется s косинусов с двойными индексами, то должны входить ещё 𝑛-2𝑠 косинусов с единичными индексами.
Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых s косинусов с двойными индексами, в сокращённом виде
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
.
В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется.
Чтобы показать, что некоторый определённый индекс 𝑚 встречается только у μ или только у λ, мы будем указывать его индексом у μ или λ. Таким образом, равенство
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
=
∑
(μ
𝑛-2𝑠
𝑚
λ
𝑠
)
+
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
𝑚
)
(33)
показывает, что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс 𝑚 встречается среди направляющих косинусов переменной точки 𝑃, а в другой - среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определённого значения 𝑛
𝑌
𝑛
=
𝐴
𝑛.0
∑
(μ
𝑛
)
+
𝐴
𝑛.1
(μ
𝑛-2
λ
1
)
+…+
𝐴
𝑛.𝑠
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
+…,
(34)
где через 𝐴 обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращённой форме:
𝑌
𝑛
=
𝑆[
𝐴
𝑛.𝑠
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
],
где 𝑆 показывает суммирование по всем значениям 𝑠 не больше 𝑛/2, включая и нулевое.
Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицательной степени (𝑛+1) порядка 𝑛 умножим на 𝑟-(𝑛+1) и получим
𝑉
𝑛
=
𝑆[
𝐴
𝑛.𝑠
𝑟
-(2𝑠-𝑛-1)
∑
(𝑝
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
],
(36)
где положено 𝑟μ=𝑝, как в уравнении (3).
Если продифференцировать 𝑉𝑛 по новой оси 𝘩𝑚, то получится -(𝑛+1)𝑉𝑛+1, и, следовательно,
(𝑛+1)𝑉
𝑛+1
=
𝑆[
𝐴
𝑛.𝑠
(2𝑛+1-2𝑠)
𝑟
(2𝑠-2𝑛-3)
∑
(𝑝
𝑛-2𝑠+1
𝑚
λ
𝑠
)
-
-
𝐴
𝑛.𝑠
𝑟
(2𝑠-2𝑛-1)
∑
(𝑝
𝑛-2𝑠-1
λ
𝑠+1
𝑚
)].
(37)
Чтобы получить члены, содержащие 𝑠 косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить 𝑠 на единицу в последнем члене. В результате получим
(𝑛+1)𝑉
𝑛+1
=
𝑆[
𝑟
(2𝑠-2𝑛-3)
{
𝐴
𝑛.𝑠
(2𝑛-2𝑠+1)
∑
(𝑝
𝑛-2𝑠+1
𝑚
λ
𝑠
)-
-
𝐴
𝑛.𝑠-1
∑
(𝑝
𝑛-2𝑠+1
λ
𝑠
𝑚
)}].
(38)
Но оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс 𝑚 встречается лишь у 𝑝, а в другом - у λ. Таким образом, коэффициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив 𝑛+1 вместо 𝑛 в выражении для 𝑉𝑛 и умножив на 𝑛+1, мы получаем уравнения
(𝑛+1)𝐴
𝑛+1.𝑠
=
(2𝑛-2𝑠+1)
𝐴
𝑛.𝑠
=
-𝐴
𝑛.𝑠-1
.
(39)
Если положить здесь 𝑠=0, то
(𝑛+1)𝐴
𝑛+1.0
=
(2𝑛+1)𝐴
𝑛.0
(40)
и, следовательно, поскольку 𝐴1.0=1,
𝐴
𝑛.0
=
2𝑛!
2𝑛⋅(𝑛!)²
.
(41)
Отсюда находится общее выражение для коэффициента
𝐴
𝑛.𝑠
=
(-1)
𝑠
(2𝑛-2𝑠)!
2𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!
(42)
и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники
