𝑌
𝑛
=
𝑆
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑠
(2𝑛-2𝑠)!
2𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!
∑
(μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑠
)
⎤
⎥
⎦
.
(43)
Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке 𝑃 сферической поверхности через косинусы расстояний 𝑃 от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.
Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.
Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.
Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения 𝑛 прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.
134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла ∬𝑌𝑚𝑌𝑛𝑑𝑠 в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.
Для этого нужно построить пространственную гармонику 𝑌𝑚𝑟𝑚 и продифференцировать её по каждой из 𝑛 осей 𝑌𝑛.
Любой член 𝑌𝑚𝑟𝑚 типа 𝑟𝑚μ𝑚-2𝑠λ𝑠 может быть представлен в виде
𝑟
2𝑠
𝑝
𝑚-2𝑠
𝑚
λ
𝑠
𝑛𝑚
.
Дифференцируя его 𝑛 раз последовательно по 𝑛 осям 𝑌𝑛, мы увидим, что при дифференцировании 𝑟2𝑠 по 𝑠 из этих осей у нас появятся 𝑠 раз величины 𝑝𝑛 и численный множитель 2𝑠(2𝑠-2) т. е. 2𝑠𝑠! Продолжение дифференцирования на следующие 𝑠 осей превращает эти 𝑝𝑛 в λ𝑛𝑛, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным 𝑛-2𝑠 осям множители 𝑝𝑚 переходят в λ𝑚𝑛, так что в результате получается
2
𝑠
𝑠!
λ
𝑠
𝑛𝑛
λ
𝑠
𝑚𝑚
λ
𝑛-2𝑠
𝑚𝑛
.
Таким образом, согласно (31),
∬
𝑌
𝑚
𝑌
𝑛
𝑑𝑠
=
4π
𝑛!(2𝑛+1)
𝑎
𝑛-𝑚+2
𝑑𝑛(𝑌𝑚𝑟𝑚)
𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
,
(44)
а по (43)
𝑌
𝑚
𝑟
𝑚
=
𝑆
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑠
(2𝑚-2𝑠)!
2𝑚-𝑠𝑚!(𝑚-𝑠)!
∑
(
𝑟
2𝑠
𝑝
𝑚-2𝑠
𝑚
λ
𝑠
𝑚𝑚
)
⎤
⎥
⎦
.
(45)
Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что 𝑚=𝑛, получим
∬
𝑌
𝑚
𝑌
𝑛
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
(2𝑛+1)(𝑛!)²
×
×
𝑆
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑠
(2𝑛-2𝑠)!𝑠!
2𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!
∑
(
λ
𝑠
𝑚𝑚
λ
𝑠
𝑛𝑛
λ
𝑛-2𝑠
𝑚𝑛
)
⎤
⎥
⎦
.
(46)
135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем 𝑌𝑚, совпадают друг с другом, так что 𝑌𝑚 становится так называемой «зональной гармоникой порядка 𝑚», определяемой нами ниже и обозначаемой символом 𝑃𝑚.
В этом случае все косинусы вида λ𝑛𝑚 можно записать как μ𝑛 где μ𝑛 - косинусы угла между общей осью 𝑃𝑚 и одной из осей 𝑌𝑚. Косинусы типа λ𝑚𝑚 все равны единице, так что вместо
∑
λ
𝑠
𝑚𝑚
нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по 𝑠 символов из 𝑛, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что
∑
λ
𝑠
𝑚𝑚
=
𝑛!
2𝑠𝑠!(𝑛-2𝑠)!
.
(47)
Число перестановок оставшихся (𝑛-2𝑠) индексов осей 𝑃𝑚 равно (𝑛-2𝑠)! Следовательно,
∑
(λ
𝑛-2𝑠
𝑚𝑛
)
=
(𝑛-2𝑠)!
μ
𝑛-2𝑠
.
(48)
Таким образом, в случае, когда все оси 𝑌𝑚 совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид
∬
𝑌
𝑛
𝑃
𝑚
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
(2𝑛+1)(𝑛!)²
𝑆
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑠
(2𝑛-2𝑠)!
2𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!
∑
(
μ
𝑛-2𝑠
λ
𝑛
)
⎤
⎥
⎦
(49)
=
4π𝑎²
2𝑛+1
𝑌
𝑛(𝑚)
, согласно (43),
(50)
где 𝑌𝑛(𝑚) - значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.
К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось 𝑧 совпала с осью 𝑚 и пусть 𝑌𝑛𝑟𝑛 представлено как однородная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 степени 𝑛.
В полюсе 𝑃𝑚 𝑥=𝑦=0, a 𝑧=𝑟 так что если 𝐶𝑧𝑛 слагаемое, не содержащее 𝑥 и 𝑦, то 𝐶 есть значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.
Уравнение (31) принимает в этом случае вид
∬
𝑌
𝑛
𝑃
𝑚
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
2𝑛+1
1
𝑛!
𝑑𝑚
𝑑𝑧𝑚
(𝑌
𝑛
𝑟
𝑛
)
.
Поскольку 𝑚 равно 𝑛, то дифференцирование 𝐶𝑧𝑛 даёт 𝑛!𝐶, а остальные члены дают нуль. Следовательно,
∬
𝑌
𝑛
𝑃
𝑚
𝑑𝑠
=
4π𝑎²
2𝑛+1
𝐶
,
где 𝐶 - значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.
135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.
Действительно, пусть 𝐹 - значение этой величины в точке 𝑄 сферы, a 𝑑𝑠 - элемент её поверхности. Умножим 𝐹𝑑𝑠 на 𝑃𝑛, зональную гармонику с полюсом в точке 𝑃 на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки 𝑃, можно рассматривать как функцию положения точки 𝑃.
