131 а. Теперь мы можем построить распределение потенциала, при котором ни сам потенциал, ни его первые производные не обращаются в бесконечность ни в одной точке.
Функция 𝑉𝑛=𝑌𝑛𝑟-(𝑛+1) удовлетворяет условию обращения в нуль на бесконечности, но становится бесконечной в начале координат.
Функция 𝑉𝑛=𝑌𝑛𝑟𝑛 конечна и непрерывна на конечных расстояниях от начала координат, но не обращается в нуль на бесконечности.
Но если принять потенциал во всех точках вне сферы радиуса а с центром в начале координат равным 𝑎𝑛=𝑌𝑛𝑟-(𝑛+1), а потенциал во всех точках внутри сферы равным 𝑎-(𝑛+1)=𝑌𝑛𝑟𝑛 и предположить, что на самой сфере электричество распределено с поверхностной плотностью σ, определяемой соотношением
4πσ𝑎²
=
(2𝑛+1)
𝑌
𝑛
,
(18)
то все условия для потенциала, создаваемого заряженной так оболочкой, будут выполнены.
Действительно, потенциал всюду конечен и непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Первые производные потенциала всюду конечны и непрерывны, за исключением заряженной поверхности, где они удовлетворяют уравнению
𝑑𝑉
𝑑ν
+
𝑑𝑉'
𝑑ν'
+
4πσ
=
0,
(19)
и уравнение Лапласа удовлетворяется во всех точках как внутри, так и вне поверхности сферы.
Таким образом, это распределение потенциала удовлетворяет всем условиям, и, согласно п. 100 в, оно является единственным распределением, удовлетворяющим этим условиям.
131 б. Потенциал, создаваемый сферой радиуса 𝑎 с поверхностной плотностью, задаваемой соотношением
4π𝑎²σ
=
𝑌
𝑛
,
(20)
во всех точках вне сферы совпадает с потенциалом соответствующей особой точки 𝑛-го порядка.
Предположим теперь, что имеется некоторая электрическая система 𝐸 расположенная вне сферы, и что Ψ - потенциал, создаваемый этой системой. Найдём значение ∑(Ψ𝑒) для особой точки. Эта величина даёт часть электрической энергии, зависящую от воздействия внешней системы на особую точку.
Если 𝐴0 - заряд особой точки нулевого порядка, то искомая потенциальная энергия равна
𝑊
0
=
𝐴
0
Ψ
.
(21)
Если имеются две такие точки, причём отрицательная находится в начале координат, а положительная точка с тем же по величине зарядом - на конце оси 𝘩1 то потенциальная энергия равна
-𝐴
0
Ψ
+
𝐴
0
⎛
⎜
⎝
Ψ
+
𝘩
1
𝑑Ψ
𝑑𝘩1
+
1
2
𝘩
1
²
𝑑²Ψ
𝑑𝘩1²
+…
⎞
⎟
⎠
и при неограниченном росте 𝐴0 и уменьшении 𝘩1 так, что 𝐴0𝘩1=𝐴1 получим значение потенциальной энергии для точки первого порядка
𝑊
1
=
𝐴
1
𝑑Ψ
𝑑𝘩1
.
(22)
Аналогично для точки 𝑛-го порядка получим потенциальную энергию
𝑊
𝑛
=
1
1⋅2⋅…𝑛
𝐴
𝑛
𝑑𝑛Ψ
𝑑𝘩1𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
.
1
(23)
1 В дальнейшем удобнее будет обозначать произведение положительных целых чисел 1⋅2⋅3…𝑛 через 𝑛!.
131 в. Если принять заряд внешней системы состоящим из отдельных частей, каждую из которых мы обозначим через 𝑑𝐸 а заряд особой точки порядка 𝑛 считать образованным отдельными частичными зарядами 𝑑𝑒 то
Ψ
=
∑
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝐸
⎞
⎟
⎠
.
(24)
Но если потенциал 𝑉𝑛, обусловленный наличием особой точки, равен
𝑉
𝑛
=
∑
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑒
⎞
⎟
⎠
,
(25)
а потенциальная энергия, обусловленная воздействием 𝐸 на 𝑒, равна
𝑊
𝑛
=
∑
(Ψ𝑑𝑒)
=
∑∑
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝐸
𝑑𝑒
⎞
⎟
⎠
=
∑
(𝑉
𝑛
𝑑𝐸)
,
(26)
то последнее выражение представляет собой потенциальную энергию, обусловленную воздействием 𝑒 на 𝐸.
Аналогично если σ𝑑𝑠 - заряд на элементе 𝑑𝑠 оболочки, то, поскольку потенциал, обусловленный оболочкой в месте нахождения внешней системы 𝐸 равен 𝑉𝑛, имеем
𝑊
𝑛
=
∑
(𝑉
𝑛
𝑑𝐸)
=
∑∑
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝐸
σ
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
=
∑
(Ψσ𝑑𝑠)
.
(27)
Последний член содержит суммирование по поверхности сферы. Приравнивая его к первому выражению для 𝑊𝑛, получим
∬
Ψσ𝑑𝑠
=
∑
(Ψ𝑑𝑒)
1
𝑛!
𝐴
𝑛
𝑑𝑛Ψ
𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
.
(28)
Если вспомнить, что 4πσ𝑎=(2𝑛+1)𝑌𝑛, а 𝐴𝑛=𝑎𝑛, то получим
∬
Ψ𝑌
𝑛
𝑑𝑠
=
4π
𝑛!(2𝑛+1)
𝑎
𝑛+2
𝑑𝑛Ψ
𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
.
(29)
Это уравнение сводит операцию интегрирования Ψ𝑌𝑛𝑑𝑠 по всем элементам поверхности сферы радиуса 𝑎 к операции дифференцирования Ψ по 𝑛 осям гармоники и вычисления значения этой производной в центре сферы, если только Ψ удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках внутри сферы, а 𝑌𝑛 - поверхностная гармоника порядка 𝑛.
132. Пусть теперь Ψ - пространственная гармоника положительной степени 𝑚 вида
Ψ
=
𝑎
-𝑚
𝑌
𝑚
𝑟
𝑚
.
(30)
На поверхности сферы 𝑟=𝑎, a Ψ=𝑌𝑚, так что уравнение (29) принимает в этом случае вид
∬
𝑌
𝑚
𝑌
𝑛
𝑑𝑠
=
4π
𝑛!(2𝑛+1)
𝑎
𝑛-𝑚+2
𝑑𝑛(𝑌𝑚𝑟𝑚)
𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛
