Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -𝐴0 и 𝐴0 и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси 𝘩1. Затем нужно неограниченно уменьшать 𝘩1 и увеличивать 𝐴0 так, чтобы их произведение 𝐴0𝘩1 было всё время равно 𝐴1. Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом 𝐴1 и осью 𝘩1. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Её потенциал равен
𝑉
1
=
-𝘩
1
𝑑
𝑑𝘩1
𝑉
0
=
𝐴
1
μ1
𝑟²
.
(10)
Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом -𝐴1 а на конце оси 𝘩2 другую точку первого порядка с моментом 𝐴1 и уменьшая затем 𝘩2 с одновременным увеличением 𝐴1, так что
𝐴
1
𝘩
2
=
𝐴
2
/2
,
(11)
мы получим точку второго порядка, потенциал которой
𝑉
2
=
-𝘩
2
𝑑
𝑑𝘩2
𝑉
1
=
𝐴
2
3μ1μ2-λ12
𝑥²
.
(12)
Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси 𝘩1 и 𝘩2 и момент 𝐴2. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.
Последовательно дифференцируя по 𝑛 осям мы получим потенциал, создаваемый точкой 𝑛-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и 𝑟-(𝑛+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен 𝑟-(𝑛+1). Поэтому мы будем делить на 𝑛 при дифференцировании по 𝘩𝑛.
Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(𝑛+1), а именно
𝑉
𝑛
=
(-1)
𝑛
1
1⋅2⋅3…𝑛
𝑑
𝑑𝘩1
𝑑
𝑑𝘩2
…
𝑑
𝑑𝘩𝑛
1
𝑟
.
(13)
При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой 𝑛-го порядка.
129 г. Результат операции (13) имеет вид
𝑉
𝑛
=
𝑌
𝑛
𝑟
-(𝑛+1)
,
(14)
где 𝑌𝑛 -функция 𝑛 косинусов μ1, μ2, …, μ𝑛 углов между 𝑟 и 𝑛 осями и 𝑛(𝑛-1)/2 косинусов λ12 и т. д. углов между парами осей.
Если считать направления 𝑟 и 𝑛 осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать 𝑌𝑛 как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией 𝑛(𝑛+1)/2 расстояний между 𝑛 полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем 𝑌𝑛 Поверхностной Гармоникой порядка 𝑛.
130a. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка 𝑛 соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка -(𝑛+1) и другая порядка 𝑛, т. е. что
𝐻
𝑛
=
𝑌
𝑛
𝑟
𝑛
=
𝑉
𝑛
𝑟
2𝑛+1
(15)
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Действительно,
𝑑𝐻𝑛
𝑑𝑥
=
(2𝑛+1)
𝑟
2𝑛-1
𝑥𝑌
𝑛
+
𝑟
2𝑛-1
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑥
,
𝑑²𝐻𝑛
𝑑𝑥²
=
(2𝑛+1)
[(2𝑛-1)𝑥²+𝑟²]
𝑟
2𝑛-3
𝑌
𝑛
+
+
2(2𝑛+1)
𝑟
2𝑛-1
𝑥
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑥
+
𝑟
2𝑛+1
𝑑²𝑉𝑛
𝑑𝑥²
,
поэтому
𝑑𝐻𝑛
𝑑𝑥
+
𝑑𝐻𝑛
𝑑𝑦
+
𝑑𝐻𝑛
𝑑𝑧
=
(2𝑛+1)
(2𝑛+2)
𝑟
2𝑛-1
𝑌
𝑛
+
+
2(2𝑛+1)
𝑟
2𝑛-1
⎛
⎜
⎝
𝑥
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑦
+
𝑧
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑟
2𝑛+1
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑉𝑛
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉𝑛
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉𝑛
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
.
(16)
Ho 𝑉𝑛 - однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, отрицательной степени 𝑛+1, так что
𝑥
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑦
+
𝑧
𝑑𝑉𝑛
𝑑𝑧
=
-(𝑛+1)𝑉
𝑛
.
(17)
Поэтому первые два слагаемых в правой части (16) взаимно сокращаются, а поскольку 𝑉𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, то и третье слагаемое равно нулю, так что и 𝐻𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является пространственной гармоникой степени 𝑛.
Здесь мы имеем дело с частным случаем более общей теоремы об электрической инверсии, утверждающей, что если 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, то существует другая функция
𝑎
𝑟
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
𝑎²𝑥
𝑟²
+
𝑎²𝑦
𝑟²
+
𝑎²𝑧
𝑟²
⎞
⎟
⎠
,
также удовлетворяющая уравнению Лапласа (см. п. 162).
130 б. Поверхностная гармоника 𝑌𝑛 содержит 2𝑛 произвольных переменных, так как она определяется положением 𝑛 её полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоники 𝑉𝑛 и 𝐻𝑛 также родержат 2𝑛 произвольных переменных. При этом обе они после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа.
Чтобы показать, что 𝐴𝐻𝑛 - наиболее общая рациональная однородная функция степени 𝑛, которая может удовлетворять уравнению Лапласа, заметим, что общая рациональная однородная функция 𝐾 степени 𝑛 содержит (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов. Но ∇²𝐾 является однородной функцией степени 𝑛-2 и, следовательно, содержит 𝑛(𝑛-1)/2 членов, так что условие ∇²𝐾=0 требует равенства каждого из этих членов нулю. Таким образом, мы получаем 𝑛(𝑛-1)/2 уравнений для (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов функции 𝐾, так что в наиболее общей форме однородной функции степени 𝑛, удовлетворяющей уравнению Лапласа, остаётся 2𝑛+1 произвольных постоянных. Но 𝐻𝑛 после умножения на произвольную постоянную как раз удовлетворяет требуемым условиям и содержит 2𝑛+1 произвольных постоянных. Таким образом, это и есть наиболее общая форма.
