Следовательно, зависимость полной энергии системы от 𝑥 даётся выражением
𝑄
=
1
2
α(𝑙+𝑥)
(𝐶-𝐴)²
+
1
2
β(𝑙-𝑥)
(𝐶-𝐵)²
+
+ величины, не зависящие от
𝑥
,
а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно п. 93б,
𝑋
=
𝑑𝑄
𝑑𝑥
α(𝐶-𝐴)²
-
1
2
β(𝐶-𝐵)²
,
поскольку энергия представлена через потенциалы.
Если сечения цилиндров 𝐴 и 𝐵 одинаковы, то α=β и 𝑋=α(𝐵-𝐴)[𝐶(𝐴+𝐵)/2].
Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника.
Если 𝐶 по величине значительно больше 𝐴+𝐵, то сила приблизительно равна 𝑋=α(𝐵-𝐴)𝐶, так что можно определить разность потенциалов двух цилиндров, если измерить 𝑋, причём точность измерения увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра 𝐶. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п. 219).
Это же приспособление из трёх цилиндров можно использовать для измерения ёмкости, соединив 𝐵 и 𝐶. Если потенциал 𝐴 равен нулю, а потенциал 𝐵 и 𝐶 равен 𝑉, то количество электричества на 𝐴 равно 𝐸3=(𝑞13+α(𝑏+𝑥))𝑉, где 𝑞13 зависит от распределения электричества на концах цилиндра, но не зависит от 𝑥. Переместив цилиндр вправо, так что 𝑥 перейдёт в 𝑥+ξ, мы увеличим ёмкость цилиндра 𝐶 на определённую величину αξ где α=1[2 ln(𝑎/𝑏)], а 𝑎 и 𝑏 - радиусы противолежащих цилиндрических поверхностей.
ГЛАВА IX
СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
128. Математическая теория сферических гармоник исследовалась в целом ряде специальных трактатов. В 1878 г. вышло второе издание в двух томах книги Handbuch der Kugelfunctionen д-ра Э. Хайне (Е. Heine), являющейся наиболее детальным исследованием в этой области, а д-р Ф. Нейманн опубликовал свои Beiträdge zur Theorie der Kugelfunctionen (Leipzig, Teubner, 1878). Значительно улучшено рассмотрение этого вопроса во втором издании 1879 г. Natural Philosophy Томсона и Тэта, а публикация книг Тодхантера, Elementary Treatise on Laplace's Functions, Lamé's Functions and Bessel’s Functions и Феррерса Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subjects connected with them сделали излишним детальное рассмотрение чисто математических вопросов в книге по электричеству.
И всё же я оставил здесь представление сферической гармоники через её полюса.
Об особых точках, в которых потенциал становится бесконечным
129 а. Если электрический заряд 𝐴0 равномерно распределён по поверхности, сферы, центр которой имеет координаты (𝑎, 𝑏, 𝑐), то потенциал любой точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) вне сферы, согласно п. 125, равен
𝑉
=
𝐴
0
/𝑟
,
(1)
где
𝑟²
=
(𝑥-𝑎)²
+
(𝑦-𝑏)²
+
(𝑧-𝑐)²
.
Поскольку выражение для 𝑉 не зависит от радиуса сферы, оно останется тем же и в предположении бесконечно малого радиуса. Физически это означало бы, что заряд помещается на поверхности бесконечно малой сферы, что по существу то же самое, что математическая точка. Мы выше показали (п. 55, 81), что для значения поверхностной плотности электричества существует предел, так что физически невозможно поместить конечный заряд электричества на сферу меньше некоторого радиуса.
Тем не менее, поскольку (1) описывает возможное распределение потенциала в пространстве, окружающем сферу, мы можем математически считать потенциал как бы создаваемым зарядом 𝐴0, сосредоточенным в математической точке (𝑎, 𝑏, 𝑐), а эту точку можно назвать особой точкой нулевого порядка.
Существуют и другие типы особых точек, свойства которых мы рассмотрим ниже, но, прежде чем перейти к этому, следует определить некоторые выражения, которые окажутся нам полезными при рассмотрении направлений в пространстве и соответствующих им точек на сфере.
129 б.Осью называется любое фиксированное направление в пространстве. Мы будем считать, что оно определяется меткой на сфере в той точке, где радиус, проведённый из центра сферы в направлении оси, пересекает поверхность сферы. Эта точка называется Полюсом оси. Таким образом, ось имеет не два полюса, а один.
Если μ - косинус угла между осью 𝘩 и любым вектором 𝑟, а
𝑝
=
μ𝑟
,
то 𝑝 - проекция 𝑟 по направлению оси 𝘩.
Различные оси отличаются разными индексами, а косинус угла между двумя осями обозначается через λ𝑚𝑛, где 𝑚 и 𝑛 - индексы, характеризующие оси.
Дифференцирование по оси 𝘩, имеющей направляющие косинусы 𝐿, 𝑀, 𝑁, обозначается так:
𝑑
𝑑𝘩
=
𝐿
𝑑
𝑑𝑥
+
𝑀
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑁
𝑑
𝑑𝑧
.
(4)
Из этих определений следует, что
𝑑𝑟
𝑑𝘩𝑚
=
𝑝𝑚
𝑟
=
μ
𝑚
,
(5)
𝑑𝑝𝑛
𝑑𝘩𝑚
=
λ
𝑚𝑛
=
𝑑𝑝𝑚
𝑑𝘩𝑛
,
(6)
𝑑μ𝑚
𝑑𝘩𝑛
=
λ𝑚𝑛-μ𝑚μ𝑛
𝑟
.
(7)
Если теперь предположить, что потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧), обусловленный особой точкой любого порядка, помещённой в начале координат, равен 𝐴ƒ(𝑥, 𝑦, 𝑧), то, если эту точку поместить на конце оси 𝘩, потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет
𝐴ƒ[
(𝑥-𝐿𝘩),
(𝑦-𝑀𝘩),
(𝑧-𝑁𝘩)
].
Если теперь такую же во всех отношениях особую точку, но с противоположным знаком 𝐴 поместить в начало координат, то потенциал, создаваемый обеими точками, будет равен
𝑉
=
𝐴ƒ[
(𝑥-𝐿𝘩),
(𝑦-𝑀𝘩),
(𝑧-𝑁𝘩)
]-
𝐴ƒ(𝑥,𝑦𝑧)
=
=
-𝐴𝘩
𝑑
𝑑𝘩
ƒ(𝑥,𝑦𝑧)
+ члены, содержащие
𝘩²
.
Если теперь 𝘩, неограниченно уменьшать, а 𝐴 неограниченно увеличивать, оставляя их произведение конечным и равным 𝐴', тогда предельное значение потенциала пары точек будет равно
𝑉
=
-𝐴'
𝑑
𝑑𝘩
ƒ(𝑥,𝑦𝑧)
.
(8)
Если ƒ(𝑥,𝑦𝑧) удовлетворяет уравнению Лапласа, то, поскольку оно линейное, функция 𝑉', являющаяся разностью двух функций, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, также должна удовлетворять этому уравнению.
129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка
𝑉
0
=
𝐴
0
/𝑟
(9)
удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.
