В каждой точке боковой поверхности трубки сила лежит в касательной плоскости, так что индукции поперёк поверхности нет. Следовательно, если в трубке не содержится заряженного вещества, то, согласно п. 77, полная индукция через замкнутую поверхность, образуемую боковой поверхностью трубки и двумя её торцами, равна нулю, следовательно, значение ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆 для обоих торцов должно быть одинаково по величине и отличаться знаком.
Если эти торцевые поверхности являются поверхностями проводников, то ε=0 и 𝑅=-4πσ, так что интеграл ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆 переходит в -4π∬σ𝑑𝑆, т. е. равен заряду поверхности, умноженному на 4π.
Таким образом, положительный заряд участка поверхности, охватываемого замкнутой кривой в начале силовой трубки, численно равен отрицательному заряду, охватываемому соответствующей замкнутой кривой в конце силовой трубки.
Из свойств силовых линий можно вывести ряд важных следствий.
Внутренняя поверхность замкнутого проводящего сосуда совершенно лишена заряда, и потенциал всех точек внутри неё тот же, что и у проводника, если внутри сосуда нет заряженных тел.
Действительно, поскольку силовая линия должна начинаться на положительно заряженной поверхности, а кончаться на отрицательно заряженной, а никаких заряженных тел внутри сосуда нет, то силовая линия, если она существует внутри сосуда, должна начинаться и кончаться на самой поверхности сосуда. Но потенциал в начале силовой линии должен быть больше, чем в конце, между тем мы показали, что потенциал во всех точках проводника один и тот же.
Значит, в объёме внутри полого проводящего сосуда не может быть никаких силовых линий, если там нет никаких заряженных тел.
Если проводник, находящийся внутри замкнутого полого сосуда, соединён с этим сосудом, то его потенциал становится равным потенциалу сосуда, а поверхность его становится непрерывно связанной с внутренней поверхностью сосуда. Следовательно, на проводнике нет никакого заряда.
Если представить себе произвольную заряженную поверхность разбитой на элементарные участки так, что заряд каждого участка равен единице, и если построить в силовом поле соленоиды, опирающиеся на эти элементарные площадки, то поверхностный интеграл через любую другую поверхность будет выражаться числом соленоидов, пересекаемых этой поверхностью. Именно в этом смысле Фарадей применяет понятие силовых линий для указания не только на направление, но и на величину силы в произвольной точке поля.
Мы пользуемся выражением Силовые Линии потому, что им пользовались Фарадей и другие. Строго говоря, их следовало бы назвать Линиями Электрической Индукции.
В обычных случаях линии индукции указывают также величину и направление результирующей электродвижущей напряжённости в каждой точке, поскольку напряжённость и индукция направлены одинаково и находятся в постоянном отношении. Однако бывают случаи, когда важно помнить, что эти линии указывают именно индукцию, а напряжённость непосредственно определяется эквипотенциальными поверхностями: она перпендикулярна этим поверхностям и обратно пропорциональна расстоянию между соседними поверхностями.
Об удельной индуктивной способности
83а. Выше при исследовании поверхностных интегралов мы приняли обычное представление о прямом воздействии на расстоянии и не учитывали никаких эффектов, зависящих от природы диэлектрической среды, в которой наблюдаются эти силы.
Но Фарадей заметил, что количество электричества, наводимое заданной электродвижущей силой на поверхности проводника, граничащего с диэлектриком, для разных диэлектриков различно. Для большинства твёрдых и жидких диэлектриков оно больше, чем для воздуха и для газов. Поэтому говорят, что у этих веществ удельная индуктивная способность больше, чем у воздуха, который Фарадей принял за эталонную среду.
Мы можем выразить теорию Фарадея на математическом языке, сказав, что в диэлектрической среде индукция через поверхность представляет собой произведение нормальной составляющей электрической напряжённости на коэффициент, являющийся удельной индуктивной способностью этой среды. Если этот коэффициент обозначить через 𝐾 то всюду при вычислении поверхностных интегралов нам надо будет умножить 𝑋, 𝑌, 𝑍 на 𝐾, так что уравнение Пуассона примет вид
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
4πρ
=
0.
(1)
На поверхности раздела двух сред с индуктивными способностями 𝐾1 и 𝐾2, потенциалы в которых мы обозначим 𝑉1 и 𝑉2, характеристическое уравнение можно записать в виде
𝐾
1
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉2
𝑑ν2
+
4πρ
=
0,
(2)
где ν1, ν2 - нормали в сторону первой и второй среды, а σ - истинная поверхностная плотность заряда на поверхности раздела, т. е. количество электричества, фактически находящееся на поверхности в виде заряда, изменить которое можно, лишь подведя к данному месту или отведя от него какой-то заряд.
Кажущееся распределение электричества
83 б. Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объёмную плотность ρ' и поверхностную плотность σ' в предположении, что 𝐾 всюду равно единице, то величину ρ' можно назвать кажущейся объёмной плотностью, а σ' - кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенциала в предположении, что приведённый в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учёта различия в свойствах диэлектриков.
Кажущийся заряд электричества внутри заданного объёма может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через границы этого объёма. Поэтому его следует отличать от истинного заряда, удовлетворяющего уравнению непрерывности.
В неоднородном диэлектрике, в котором 𝐾 меняется непрерывно, для кажущейся объёмной плотности ρ' справедливо соотношение
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
+
4πρ'
=
0.
(3)
Сопоставляя его с уравнением (1), получим
4π
(ρ-𝐾ρ')
+
𝑑𝐾
𝑑𝑥
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑑𝐾
𝑑𝑦
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑑𝐾
𝑑𝑧
𝑑𝑉
𝑑𝑧
=
0.
(4)
Истинная электризация, обозначаемая через ρ, создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через 𝐾 такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью ρ' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.
Кажущаяся поверхностная плотность ρ' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
+
4πρ'
