(16)
Таково значение 𝐴 для слоя, параллельного плоскости 𝑦𝑧 толщиной 𝑥2-𝑥1.
Поскольку 𝑌 и 𝑍 непрерывны, то (𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦) конечно, а поскольку 𝑋 также конечно, то
𝑥2
∫
𝑥1
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
<
𝐶
(𝑥
2
-𝑥
1
)
,
где 𝐶 - наибольшее значение [(𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦)]𝑋 между 𝑥=𝑥1 и 𝑥=𝑥2.
При неограниченном уменьшении 𝑥2-𝑥1 этот член стремится к нулю, так что
𝐴
=
∬
1
8π
(𝑋
2
2
-𝑋
2
1
)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(17)
где 𝑋1 - значение 𝑋 на отрицательной стороне поверхности, а 𝑋2 - на положительной.
Согласно п. 78б,
𝑋
2
-
𝑋
1
=
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
-
𝑑𝑉2
𝑑𝑥
=
4πσ
,
(18)
так что (17) можно переписать в виде
𝐴
=
∬
1
2
(𝑋
2
+𝑋
1
)
σ
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(19)
Здесь 𝑑𝑦𝑑𝑧 - элемент поверхности, σ - поверхностная плотность, а (𝑋2+𝑋1)/2 - арифметическое среднее значение электродвижущих напряжённостей по обе стороны поверхности.
Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряжённости по обе стороны поверхности.
Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряжённости не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений.
Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности 𝑑𝑆:
𝐴
=
½
(𝑋
1
+𝑋
2
)
σ
𝑑𝑆
,
𝐵
=
½
(𝑌
1
+𝑌
2
)
σ
𝑑𝑆
,
𝐶
=
½
(𝑍
1
+𝑍
2
)
σ
𝑑𝑆
,
(20)
Заряженная поверхность проводника
80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии 𝑋=𝑌=𝑍=0, так что 𝑉 постоянно. Следовательно,
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
4πρ
=
0,
т.e. ρ равно нулю во всей толщине проводника: внутри проводника не может быть никаких зарядов.
Таким образом, на проводнике, находящемся в электрическом равновесии, возможно лишь поверхностное распределение электричества.
Распределение электричества в толще тела возможно лишь для непроводящих тел.
Поскольку внутри проводника результирующая напряжённость равна нулю, то вне проводника, непосредственно у его поверхности, она должна быть направлена по нормали к поверхности, равняться 4πσ и действовать в наружном направлении.
Это соотношение между поверхностной плотностью и результирующей напряжённостью вблизи поверхности проводника известно как Закон Кулона, поскольку Кулон экспериментально установил, что электродвижущая напряжённость вблизи некоторой точки поверхности проводника перпендикулярна поверхности и пропорциональна поверхностной плотности в этой точке. Численное значение 𝑅=4πσ было установлено Пуассоном.
Сила, действующая на элемент заряженной поверхности проводника 𝑑𝑆 равна, согласно п. 79, (𝑅σ/2)𝑑𝑆 = 2πσ²𝑑𝑆 = (𝑅²/8π)𝑑𝑆, поскольку с внутренней стороны поверхности напряжённость равна нулю.
Эта сила действует по нормали к проводнику и направлена наружу независимо от того, заряжена поверхность положительно или отрицательно.
Сила в динах, действующая на один квадратный сантиметр поверхности, равна (𝑅σ/2) = 2πσ² = 𝑅²/8π, она действует как натяжение наружу от поверхности проводника.
81. Если теперь представить себе заряженное продолговатое тело, то, уменьшая его поперечные размеры, можно прийти к понятию заряженной линии.
Пусть 𝑑𝑠 - длина небольшого элемента продолговатого тела, 𝑐 - его периметр, а σ - поверхностная плотность заряда на его поверхности. Обозначая через λ заряд, приходящийся на единицу длины, получим λ=𝑐σ. При этом результирующая электрическая напряжённость вблизи поверхности будет равна 4πσ=4πλ/𝑐.
Если при постоянном λ неограниченно уменьшать 𝑐, то напряжённость на поверхности будет стремиться к бесконечности. Но для каждого диэлектрика существует предел, выше которого напряжённость не может подняться, не вызывая пробоя. Поэтому распределение электричества, при котором конечное количество электричества расположено на конечном участке линии, несовместимо с условиями, существующими в природе.
Даже если бы и нашёлся такой изолятор, в котором бесконечная напряжённость не вызывает пробоя, линейный проводник всё равно нельзя было бы зарядить конечным количеством электричества, так как, поскольку конечный заряд создал бы бесконечный потенциал, потребовалось бы бесконечно большая электродвижущая сила, чтобы перенести заряд на линейный проводник.
Аналогично можно показать, что и точечный заряд конечной величины не может существовать в природе. Однако в некоторых случаях удобно говорить о линейных зарядах и точечных зарядах. Мы будем представлять их как заряженные проволоки или малые тела, размеры которых пренебрежимы по сравнению с основными существенными расстояниями.
Поскольку количество электричества на любом заданном участке провода при заданном потенциале стремится к нулю при неограниченном уменьшении диаметра провода, распределение заряда на телах конечных размеров не изменится существенно при внесении очень тонкой металлической проволочки в поле, например, для соединения этих тел с землёй, электрической машиной или электрометром.
О силовых линиях
82. Если построить кривую, направление которой совпадает в каждой точке с направлением результирующей напряжённости в этой точке, то такая кривая называется Силовой Линией.
На любом участке силовой линии она идёт от места с большим потенциалом к месту с меньшим потенциалом.
Поэтому силовая линия не может пересекать саму себя, но должна иметь начало и конец. Начало силовой линии, согласно п. 80, должно быть расположено на положительно заряженной поверхности, а конец силовой линии должен находиться на отрицательно заряженной поверхности.
Началом и концом силовой линии называются соответствующие точки положительной и отрицательной заряженной поверхности.
Если силовая линия перемещается так, что её начало описывает замкнутую кривую на положительной поверхности, то её конец описывает соответствующую замкнутую кривую на отрицательной поверхности, а сами силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции. Такую трубку называют Соленоидом 3.
3 От σωλην-труба. Фарадей (§ 3271) употребляет термин «сфондилоид» в том же смысле.
