𝑑𝑉2
𝑑𝑥
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
=
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
,
(7)
𝑑𝑉2
𝑑𝑦
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
,
(8)
𝑑𝑉2
𝑑𝑧
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
=
𝑛
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Если рассматривать изменение электродвижущей напряжённости в точке при прохождении через поверхность, то составляющая напряжённости, перпендикулярная поверхности, может скачком измениться на поверхности, но две другие составляющие, параллельные касательной плоскости, остаются непрерывными при пересечении поверхности.
78 б. Чтобы определить величину заряда на поверхности, рассмотрим замкнутую поверхность, находящуюся частично в положительной области и частично в отрицательной, так что она охватывает часть поверхности разрыва.
Поверхностный интеграл ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 по этой поверхности равен 4π𝑒 где 𝑒 - количество электричества внутри замкнутой поверхности.
Повторяя рассуждения п. 21, получим
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∬
{
𝑙
(𝑋
2
-𝑋
1
)
+𝑚
(𝑌
2
-𝑌
1
)
+𝑛
(𝑍
2
-𝑍
1
)
}
𝑑𝑆
,
(10)
где трехкратный интеграл берётся по всему объёму внутри замкнутой поверхности, а двукратный - по поверхности разрыва.
Подставляя значения входящих сюда величин согласно (7), (8) и (9), получим
4π𝑒
=
∭
4πρ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
-
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
.
(11)
Но по определению объёмной плотности ρ и поверхностной плотности а
4π𝑒
=
4π
∭
ρ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
4π
∬
σ
𝑑𝑆
.
(12)
Сравнивая два последних слагаемых этих уравнений, получим
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
+
4πσ
=0.
(13)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для 𝑉 на заряженной поверхности с поверхностной плотностью σ.
78 в. Если 𝑉 - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая в данной непрерывной области пространства уравнению Лапласа
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
=0
и в некоторой конечной части этой области 𝑉 постоянно и равно 𝐶, то 𝑉 постоянно и равно 𝐶 во всей области, где справедливо уравнение Лапласа.
Если 𝑉 не равно 𝐶 во всей области, то обозначим через 𝑆 поверхность, ограничивающую конечную область, где 𝑉=𝐶.
На поверхности 𝑆 𝑉=𝐶.
Пусть ν - наружная нормаль к поверхности 𝑆. Поскольку 𝑆 является границей непрерывной области, в которой 𝑉=𝐶, то при перемещении по нормали от поверхности 𝑆 значение 𝑉 начинает отличаться от 𝐶. Таким образом, 𝑑𝑉/𝑑ν сразу вне поверхности может быть положительно или отрицательно, но не может быть равно нулю, за исключением нормалей на граничной линии между положительной и отрицательной областью.
Для нормали ν', направленной внутрь поверхности 𝑆 очевидно, 𝑉'=𝐶 и (𝑑𝑉'/𝑑ν')=0.
Итак, в каждой точке поверхности 𝑆, за исключением некоторых граничных линий,
𝑑𝑉
𝑑ν
+
𝑑𝑉'
𝑑ν'
(=-4πρ)
является конечной величиной, положительной или отрицательной, так что на всей поверхности 𝑆, кроме некоторых граничных линий, разделяющих положительные и отрицательные области, имеется непрерывное распределение заряда.
На этой поверхности уравнение Лапласа не выполняется (за исключением точек, лежащих на некоторых линиях). Таким образом, поверхность 𝑆, ограничивающая область, внутри которой 𝑉=𝐶 охватывает всю непрерывную область, в которой выполняется уравнение Лапласа.
Сила, действующая на заряженную поверхность
79. Общие выражения для составляющих силы, действующей на заряженное тело, параллельных трём координатным осям, имеют вид
𝐴
=
∭
ρ𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(14)
и аналогичные выражения для составляющих 𝐵 и 𝐷, параллельных осям 𝑦 и 𝑧.
Однако на заряженной поверхности ρ бесконечно, а 𝑋 может претерпевать разрыв, так что рассчитать силу непосредственно по этим формулам мы не можем.
Однако мы показали, что разрыв претерпевает лишь составляющая напряжённости, нормальная заряженной поверхности, две другие составляющие остаются непрерывными.
Примем ось 𝑥 перпендикулярной поверхности в данной точке и допустим также, по крайней мере на первом этапе рассмотрения, что 𝑋 меняется в действительности не скачком, а непрерывно от 𝑋1 до 𝑋2 при изменении 𝑥 от 𝑥1 до 𝑥2. Если в результате расчёта мы получим определённый предел для силы при 𝑥2-𝑥1 стремящемся к нулю, мы сможем считать его справедливым при 𝑥2=𝑥1 когда заряженная поверхность имеет нулевую толщину.
Подставляя для ρ его значение по п. 77, получим
𝐴
=
1
4π
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(15)
Интегрирование по 𝑥 от 𝑥=𝑥1 до 𝑥=𝑥2 даёт
𝐴
=
1
4π
∬
⎡
⎢
⎣
1
2
(𝑋
2
2
-𝑋
2
1
)+
𝑥2
∫
𝑥1
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
