Так как всё пространство может быть разделено на такого рода трубки, то при выполнении условия
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(16)
распределение векторной величины, удовлетворяющей этому уравнению, называется Соленоидальным Распределением.
О трубках и линиях тока
Если пространство разделено на трубки таким образом, что поверхностный интеграл для каждой из них равен единице, то такие трубки называются единичными, а поверхностный интеграл по любой конечной поверхности 𝑆, ограниченной некоторой замкнутой кривой 𝐿, равен числу единичных трубок, проходящих сквозь 𝑆 в положительном направлении, или, что то же самое, числу единичных трубок, проходящих внутри замкнутой кривой 𝐿.
Следовательно, поверхностный интеграл по поверхности 𝑆 зависит только от формы её границы 𝐿, но не от формы самой поверхности в пределах той же её границы.
О многограничных областях
Если во всей области, ограниченной одной замкнутой поверхностью 𝑆, выполнено условие соленоидальности
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
то поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, проведённой внутри этой области, будет равен нулю, а поверхностный интеграл, взятый по ограниченной поверхности внутри этой области, будет зависеть только от формы той замкнутой кривой, которая образует границу этой поверхности.
В общем случае, однако, неправильно утверждать, что те же результаты сохраняются, если область, внутри которой удовлетворяется условие соленоидальности, ограничена иначе, нежели одной поверхностью.
Действительно, если она ограничена более чем одной непрерывной поверхностью, то одна из них является внешней, а остальные - внутренними, и область внутри поверхности 𝑆 оказывается многограничной, содержащей внутри себя другие области, полностью охватываемые 𝑆.
Предположим, что условие соленоидальности не удовлетворяется внутри одной из этих охватываемых областей, скажем, внутри области, ограниченной поверхностью 𝑆1, и поверхностный интеграл по поверхности, охватывающей эту область, равен 𝑄1=∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆1 пусть 𝑄2, 𝑄3, … являются соответствующими величинами для других областей, охватываемых поверхностями 𝑆2, 𝑆3, ….
Тогда, если внутри области 𝑆 провести некоторую замкнутую поверхность 𝑆', то значение поверхностного интеграла на ней будет равно нулю только в том случае, когда эта поверхность не содержит внутри себя ни одну из областей, охватываемых поверхностями 𝑆2, 𝑆3, …. Если же она включает какие-то из них, то соответствующий поверхностный интеграл равен сумме поверхностных интегралов по поверхностям различных охватываемых областей, лежащих внутри 𝑆'.
По этой же самой причине поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной замкнутой кривой, будет иметь одинаковое значение только для таких поверхностей (ограниченных той же замкнутой кривой), которые допускают совмещение с данной поверхностью путём непрерывного изменения поверхности в пределах области, охватываемой 𝑆.
Если нам предстоит работать с многограничной областью, то первым делом следует свести её к однограничной путём проведения линий 𝐿1, 𝐿2, …, соединяющих внутренние поверхности 𝑆1, 𝑆2, …, с внешней поверхностью 𝑆. Каждая из этих линий при условии, что она соединяет поверхности, ранее не связанные непрерывным соединением, сокращает порядок перифрактичности на единицу, так что полное число линий, которые необходимо нанести для устранения многограничности, равно порядку перифрактичности, или числу внутренних поверхностей. При нанесении этих линий мы обязаны помнить, что любая линия, соединяющая ранее уже соединённые поверхности, не уменьшает перифрактичности, а вводит цикличность. Когда эти линии проведены, можно утверждать, что при удовлетворении условия соленоидальности внутри 𝑆 поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, лежащей внутри 𝑆, но не пересекающей ни одной из этих линий, равен нулю. Если же она пересекает какую-то линию, скажем, 𝐿1, один или нечётное число раз, то она охватывает поверхность 𝑆1, и соответствующий поверхностный интеграл равен 𝑄1.
Наиболее знакомым примером многограничной области, где удовлетворяются условия соленоидальности, является область, окружающая массу, которая притягивает или отталкивает с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
В этом случае мы имеем
𝑋
=
𝑚
𝑥
𝑟³
,
𝑌
=
𝑚
𝑦
𝑟³
,
𝑍
=
𝑚
𝑧
𝑟³
,
где масса 𝑚 предполагается расположенной в начале координат.
В любой точке, где расстояние 𝑟 конечно,
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
но в начале координат эти величины становятся бесконечными. Для любой замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя начала координат, поверхностный интеграл равен нулю. Если же она содержит внутри начало координат, то поверхностный интеграл по ней равен 4π𝑚
Если по какой-то причине мы захотим рассматривать область вокруг 𝑚 не как многограничную, то тогда должны провести линию из 𝑚 до бесконечности и при взятии поверхностного интеграла помнить, что нужно прибавлять 4π𝑚 всякий раз, когда эта линия пересекает поверхность от её отрицательной стороны к положительной.
О правовинтовых и левовинтовых соотношениях в пространстве
23. В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта 10.
10 Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперёд, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовинтового движения, чем какое-либо словесное определение. Обычно употребляемый пробочный штопор тоже может служить материальным образом этих же самых соотношений.
Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля - по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.
Принимаемая нами виноградная система - это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.
Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идёт вперёд в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.
Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращён к нам.
