При каждом входе 𝑙𝑑𝑆=-𝑑𝑦𝑑𝑧, а при каждом выходе 𝑙𝑑𝑆=𝑑𝑦𝑑𝑧.
Пусть некоторая точка, движущаяся из 𝑥=-∞ в 𝑥=+∞, первый раз входит в это пространство при 𝑥=𝑥1 а затем покидает его при 𝑥=𝑥2 и так далее; при этом значения 𝑋 в этих точках соответственно равны 𝑋1, 𝑋2, …; тогда
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
=-
∬
{
(𝑋
1
-𝑋
2
)
+
(𝑋
3
-𝑋
4
)
+…+
(𝑋
2𝑛-1
-𝑋
2𝑛
)
}
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(2)
Если 𝑋 является величиной непрерывной и не принимающей в интервале между 𝑥1 и 𝑥2 бесконечных значений, то
𝑋
2
-𝑋
1
=
𝑥2
∫
𝑥1
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
,
(3)
где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка 𝑥 находящегося внутри замкнутой поверхности. Учитывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
=
∭
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(4)
Где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на всё охватываемое ею пространство. Следовательно, если 𝑋, 𝑌, 𝑍 непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности 𝑆, то полный поверхностный интеграл от 𝑅, взятый по этой поверхности, будет равен
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(5)
где тройное интегрирование распространено на всё пространство внутри 𝑆.
Предположим теперь, что величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности 𝐹{𝑥,𝑦,𝑧}=0 изменяются скачком от значений 𝑋, 𝑌, 𝑍 на отрицательной стороне этой поверхности до значений 𝑋', 𝑌', 𝑍' на её положительной стороне.
Если этот разрыв происходит, скажем, между 𝑥1 и 𝑥2 то значение 𝑋2-𝑋1 окажется равным
𝑥2
∫
𝑥1
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
(𝑋'-𝑋)
,
(6)
здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от 𝑋
Таким образом, в этом случае полный поверхностный интеграл от 𝑅 по замкнутой поверхности будет представляться выражением
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∬
(𝑋'-𝑋)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
∬
(𝑌'-𝑌)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
∬
(𝑍'-𝑍)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(7)
или, если через 𝑙', 𝑚', 𝑛' обозначить направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва, а через 𝑑𝑆' - элемент этой поверхности,
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
∬
{
𝑙'(𝑋'-𝑋)
+
𝑚'(𝑌'-𝑌)
+
𝑛'(𝑍'-𝑍)
}
𝑑𝑆'
,
(8)
где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва.
Если в каждой точке, где 𝑋, 𝑌, 𝑍 непрерывны, справедливо уравнение
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(9)
а на каждой поверхности, где они разрывны,-
𝑙'𝑋'
+
𝑚'𝑌'
+
𝑛'𝑍'
=
𝑙'𝑋
+
𝑚'𝑌
+
𝑛'𝑍
,
(10)
то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, что оно является Соленоидальным.
Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) - как на условие соленоидальности на поверхности.
22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(11)
выполнено в каждой точке внутри поверхности 𝑆. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю.
Пусть теперь замкнутая поверхность 𝑆 состоит из трёх частей 𝑆1, 𝑆0, и 𝑆2, причём 𝑆1 - это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой 𝐿1 a 𝑆0 - поверхность, образованная линиями, проведёнными из каждой точки кривой 𝐿1 всегда совпадающими по направлению с 𝑅. Если 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности 𝑆0, то мы имеем
𝑅 cos ε
=
𝑋𝑙
+
𝑌𝑚
+
𝑍𝑛
=
0.
(12)
Следовательно, эта часть поверхности не даёт никакого вклада в значение поверхностного интеграла.
Пусть 𝑆2 будет другой поверхностью произвольной формы, ограниченной замкнутой кривой 𝐿2, по которой она пересекается с поверхностью 𝑆0
Обозначим через 𝑄1, 𝑄1, 𝑄2 поверхностные интегралы, взятые по поверхностям 𝑆1, 𝑆0 и 𝑆2, а через 𝑄 - поверхностный интеграл по замкнутой поверхности 𝑆; тогда
𝑄
=
𝑄
1
+
𝑄
0
+
𝑄
2
=
0,
(13)
но мы знаем, что
𝑄
0
=
0,
(14)
поэтому
𝑄
2
=
-𝑄
1
,
(15)
иными словами, поверхностный интеграл по поверхности 𝑆2 равен по величине и противоположен по знаку поверхностному интегралу по 𝑆1 независимо от формы и расположения 𝑆2 при условии, что промежуточная поверхность 𝑆0 является поверхностью, к которой направленная величина 𝑅 всегда тангенциальна.
Если предположить, что 𝐿1 есть замкнутая кривая, ограничивающая небольшую площадь, то 𝑆0 окажется трубчатой поверхностью, обладающей тем свойством, что поверхностный интеграл по любому полному сечению этой трубки одинаков.
