Когда некоторая область содержит внутри себя другие области, она называется многограничной, или Перифрактической (Periphractic region).
Число внутренних ограничивающих поверхностей у области называется порядком её перифрактичности. Замкнутая поверхность тоже является многограничной, её порядок перифрактичности равен единице.
Индекс цикличности замкнутой поверхности равен удвоенному индексу цикличности любой из областей, ограничиваемых ею. Для того чтобы найти индекс цикличности ограниченной поверхности, допустим, что все границы сжимаются вовнутрь без нарушения непрерывности до тех пор, пока не встретятся друг с другом. Тогда поверхность стянется либо в точку в случае ациклической поверхности, либо в линейный граф в случае циклических поверхностей. Индекс цикличности графа совпадает с индексом цикличности поверхности.
19.Теорема I. Если в некоторой ациклической области справедливо соотношение
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
-𝐷Ψ
то значение линейного интеграла, взятого от точки 𝐴 до точки 𝑃, будет одинаковым для любого пути внутри этой области.
Покажем сначала, что линейный интеграл, взятый по любому замкнутому пути в пределах области, равен нулю.
Пусть нанесены эквипотенциальные поверхности. Они либо замкнуты, либо полностью ограничены поверхностью области, так что замкнутая линия внутри этой области, если она пересекает какую-то из этих поверхностей на одном из участков своего пути, должна пересечь ту же самую поверхность в противоположном направлении на каком-то другом участке своего пути; поскольку соответствующие вклады в линейный интеграл окажутся одинаковыми по величине и противоположными по знаку, то полное его значение будет равно нулю.
Следовательно, если считать, что 𝐴𝑄𝑃 и 𝐴𝑄'𝑃 - два пути из 𝐴 в 𝑃 то линейный интеграл вдоль 𝐴𝑄'𝑃 равен сумме интеграла вдоль 𝐴𝑄𝑃 и интеграла по замкнутому пути 𝐴𝑄'𝑃𝑄𝐴. Но интеграл по замкнутому пути равен нулю, и поэтому интегралы по двум путям 𝐴𝑄𝑃 и 𝐴𝑄'𝑃 равны между собой.
Таким образом, если задать потенциал в какой-либо одной точке, принадлежащей этой области, то тем самым он будет определён и для любой другой точки.
20.Теорема II. Если всюду внутри циклической области справедливо уравнение
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
-𝐷Ψ
то линейный интеграл из точки 𝐴 в точку 𝑃, взятый вдоль линии, проведённой в пределах этой области, вообще говоря, не определён до тех пор, пока не установлен канал, по которому происходит связь между 𝐴 и 𝑃.
Пусть 𝑁 есть индекс цикличности области, тогда при помощи поверхностей (которые мы будем называть Диафрагмами) можно осуществить 𝑁 сечений области, запирающих 𝑁 каналов связи и сводящих тем самым данную область, не разрушая её непрерывности, к области, удовлетворяющей условию ацикличности.
Согласно последней теореме, линейный интеграл от 𝐴 до произвольной точки 𝑃, взятый вдоль линии, не пересекающей ни одну из этих диафрагм, будет иметь вполне определённое значение.
Возьмём теперь точки 𝐴 и 𝑃, сколь угодно близко расположенные друг к другу, но находящиеся на противоположных сторонах диафрагмы, и обозначим через 𝐾 линейный интеграл от 𝐴 до 𝑃.
Пусть 𝐴' и 𝑃' будут двумя другими точками, сколь угодно близкими друг к другу, расположенными на противоположных сторонах той же самой диафрагмы, а 𝐾' - линейный интеграл от 𝐴' до 𝑃'. Тогда 𝐾'=𝐾.
Действительно, если мы проведём две почти совпадающие линии 𝐴𝐴' и 𝑃𝑃', расположенные по разные стороны от диафрагмы, то линейные интегралы вдоль них будут равны между собой. Пусть каждый из этих интегралов есть 𝐿 тогда линейный интеграл 𝐾 взятый вдоль 𝐴'𝑃', окажется равным линейному интегралу, взятому вдоль 𝐴'𝐴+𝐴𝑃+𝑃𝑃' = -𝐿+𝐾+𝐿 = 𝐾, т.е. линейному интегралу вдоль 𝐴𝑃.
Следовательно, линейный интеграл по замкнутой кривой, проходящей сквозь одну диафрагму в определённом заданном направлении, равен некоторой постоянной величине 𝐾 называемой Циклической константой данного цикла.
Пусть внутри этой области проведена произвольная замкнутая кривая, пересекающая диафрагму первого цикла 𝑝 раз в положительном направлении и 𝑝' раз в отрицательном направлении, причём 𝑝-𝑝'=𝑛1. Тогда линейный интеграл вдоль этой замкнутой кривой будет равен 𝑛1𝐾1.
Аналогично линейный интеграл, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, будет равен
𝑛
1
𝐾
1
+
𝑛
2
𝐾
2
+…+
𝑛
𝑠
𝐾
𝑠
,
где 𝑛𝑠 представляет собой превышение числа положительных прохождений кривой через диафрагму 𝑆-го цикла над числом отрицательных.
Если две кривые таковы, что одна из них может быть преобразована в другую путём её непрерывного изменения без прохождения в какой бы то ни было момент времени любой части пространства, в котором условия существования потенциала не выполнены, то эти две кривые называются совместимыми. Те кривые, для которых это преобразование не может быть произведено, называются несовместимыми 8.
8 См. сэр У. Томсон «О вихревом движении», Trans.R. S. Edin., 1867-8. (Sir W. Thom-on «On Vortex Motion»).
Условие, состоящее в том, что выражение 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом некоторой функции Ψ во всех точках внутри определённой области, возникает в целом ряде физических задач, где направленная величина и потенциал имеют различные физические истолкования.
В чисто кинематических задачах мы можем положить величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 составляющими смещения точки сплошного тела, начальные координаты которой равны 𝑥, 𝑦, 𝑧 тогда данное условие выражает тот факт, что эти смещения составляют невращательные деформации 9.
9 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 190(I).
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие скорости жидкости в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то данное условие означает, что движение жидкости невращательное.
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие силы в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то это условие означает, что работа, совершаемая над частицей при прохождении её из одной точки в другую, равна разности потенциалов в этих точках и что значение этой разности одинаково для всех совместимых путей между этими двумя точками.
О поверхностных интегралах
21. Пусть 𝑑𝑆 есть элемент поверхности, а ε - угол между нормалью к поверхности, проведённой в направлении положительной стороны поверхности, и направлением векторной величины 𝑅 тогда величина ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 называется поверхностным интегралом от 𝑅 по поверхности 𝑆.
Теорема III. Поверхностный интеграл от потока (плотности потока), втекающего внутрь замкнутой поверхности, может быть выражен через объёмный интеграл от его конвергенции, взятый по области, расположенной внутри этой поверхности (см. п. 25).
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие 𝑅, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности, отсчитываемой наружу. Тогда поверхностный интеграл от 𝑅 по 𝑆 равен
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
+
∬
𝑌𝑚𝑑𝑆
+
∬
𝑍𝑛𝑑𝑆
,
(1)
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - это значения, взятые в точке на поверхности, а интегрирования распространены на всю поверхность.
Если поверхность замкнутая, то при заданных 𝑦 и 𝑧 координата 𝑥 должна иметь чётное количество значений, так как линия, параллельная 𝑥, должна входить в замкнутое пространство и выходить из него одинаковое число раз при условии, что она вообще пересекает поверхность.
