𝑋
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
,
𝑌
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
,
𝑍
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотенциальными. В любой точке такой поверхности направление 𝑅 совпадает с нормалью к ней; если обозначить через 𝑛 нормаль в точке 𝑃 то 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑𝑛).
Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом 4 при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином 5, который положил её в основу своего подхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (Chasles), Штурмом и Томсоном 6.
4Méc. Céleste, liv. III.
5 Essay on the Application of Mathematical Analisys to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828. Reprinted in Crelle’s Journal and in Mr. Ferrers’ edition of Green’s Works.
6 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 483.
В теории тяготения потенциал берётся со знаком, противоположным тому, который используется здесь, и результирующая сила в каком-либо направлении тогда измеряется скоростью возрастания потенциальной функции в этом направлении. При изучении электричества и магнетизма потенциал определяется так, что результирующая сила в каком-либо направлении измеряется скоростью убывания потенциала в этом направлении. Такой способ использования выражения для потенциала приводит его в соответствие (по знаку) с потенциальной энергией, которая всегда убывает при перемещении тел в направлении действующих на них сил.
17. Геометрическая природа связи потенциала с вектором, вычисляемым через потенциал указанным способом, значительно проясняется благодаря открытию Гамильтоном выражения для оператора, при помощи которого вектор вычисляется из потенциала.
Как мы видели, составляющая вектора в каком-либо направлении равна взятой с обратным знаком первой производной от потенциала по координате в этом направлении.
Пусть 𝑖, 𝑗, 𝑘 - три единичных вектора, образующих между собой прямые углы, а 𝑋, 𝑌, 𝑍 - параллельные им составляющие вектора 𝔉 тогда
𝔉
=
𝑖𝑋
+
𝑗𝑌
+
𝑘𝑍
.
(1)
Согласно сказанному выше, если Ψ является потенциалом, то
𝔉
=-
⎛
⎜
⎝
𝑖
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑗
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑘
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Используем теперь запись ∇ для оператора
𝑖
𝑑
𝑑𝑥
+
𝑗
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑘
𝑑
𝑑𝑧
(3)
тогда
𝔉
=-
∇Ψ
.
(4)
Значок ∇ можно понимать как указание измерить скорость увеличения Ψ в каждом из трёх направлений прямоугольной системы координат и затем, считая найденные величины векторами, объединить их в единый вектор. Это и есть как раз то, что предписывается делать в соответствии с выражением (3). Но мы можем считать также, что это заставляет нас отыскать сначала направление наибыстрейшего увеличения а затем построить в этом направлении некоторый вектор, представляющий скорость такого возрастания.
Ламе в своём «Трактате об обратных функциях» (М. Lame, Traité des Fonctions Inverses) для выражения величины этой наибольшей скорости роста пользовался термином «дифференциальный параметр», однако ни сам этот термин, ни принятый Ламе способ употребления его не свидетельствуют о том, что данная величина характеризуется как направлением, так и модулем. В тех редких случаях, когда я должен буду обращаться к этому соотношению как к чисто геометрическому, я буду называть вектор 𝔉 пространственной вариацией скалярной функции Ψ, используя эти слова для того, чтобы отметить и направление, и величину наиболее быстрого убывания Ψ.
18. Есть, однако, такие случаи, когда условия
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-
𝑑𝑌
𝑑𝑧
=0,
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-
𝑑𝑍
𝑑𝑥
=0,
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
=0,
Являющиеся условиями того, что выражение 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 образует полный дифференциал, выполняются внутри некоторой области пространства, и, несмотря на это, линейный интеграл от 𝐴 до 𝑃 может быть различен для двух кривых, каждая из которых целиком лежит внутри данной области. Это может произойти в том случае, когда область имеет форму кольца, а две линии, соединяющие 𝐴 с 𝑃, проходят по противоположным сегментам этого кольца. В этом случае нельзя преобразовать непрерывным изменением один путь в другой без выхода за пределы этой области.
Здесь мы пришли к представлениям, относящимся к Геометрии Положения, топологии, предмет которой изучен ещё мало, хотя важность его была отмечена Лейбницем и наглядно пояснена Гауссом. Наиболее полное его рассмотрение дано Дж. Б. Листингом 7.
7Der Census Raümlicher Complexe, Gott. Abh., Bd. X, S. 97 (1861).
Пусть в пространстве имеется 𝑝 точек и проведено 𝑙 линий произвольной формы, соединяющих эти точки, причём никакие две линии не пересекаются друг с другом и ни одна точка не остаётся изолированной. Фигуру, составленную из линий таким способом, мы будем называть Диаграммой (графом). Для того чтобы образовать связанную систему, достаточно для соединения 𝑝 точек взять 𝑝-1 таких линий. Каждая новая линия завершит петлю или замкнутый путь, или, как мы будем называть его, Цикл. Таким образом, число независимых циклов в диаграмме равно ϰ=𝑙-𝑝+1.
Любой замкнутый путь, проведённый по линиям диаграммы, оказывается составленным из этих независимых циклов, каждый из которых берётся любое число раз в любом направлении.
Сам факт существования циклов называется Цикличностью (циклозисом - cyclosis), а число циклов в диаграмме - Индексом Цикличности (или цикломатическим числом - cyclomatic number).
Цикличность на поверхностях и в пространственных областях
Поверхности бывают либо полными, либо ограниченными. Полные поверхности либо бесконечны, либо замкнуты. Ограниченные поверхности ограничены одной или несколькими замкнутыми линиями, которые в предельных случаях вырождаются в сдвоенные конечные линии или в точки.
Конечная область пространства ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Одна из них является внешней поверхностью, остальные же, содержащиеся внутри неё, но не включающие в себя друг друга, называются внутренними поверхностями.
Если область имеет только одну ограничивающую поверхность, то можно считать, что она допускает сжатие вовнутрь без нарушения непрерывности или самопересечений. Если область обладает простой непрерывностью, как, например, сфера, то процесс сжатия может продолжаться до тех пор, пока область не стянется в точку; если область подобна кольцу, то в результате получится замкнутая кривая; если же область является многосвязной, то результатом её сжатия будет диаграмма линий, индекс цикличности которой равен индексу цикличности рассматриваемой области. Пространство вне рассматриваемой области характеризуется тем же индексом цикличности, что и сама эта область. Следовательно, если область ограничена наряду с внешней и внутренними поверхностями, её индекс цикличности равен сумме индексов, характеризующих все эти поверхности.
