Точно так же можно исследовать и скорость жидкости, принимая во внимание либо действительную скорость отдельных её частей, либо количество жидкости, протекающей через какую-либо фиксированную площадку.

Однако для применения первого метода в обоих этих случаях наряду со смещением или скоростью требуется независимо знать плотность тела; второй же метод должен применяться всякий раз при попытках построения молекулярной теории.

В случае потока электричества в проводнике мы не знаем ничего ни о его плотности, ни о скорости, нам известна лишь та величина, которая в теории жидкости соответствовала бы произведению плотности на скорость. И поэтому во всех таких случаях следует применять более общий метод измерения потока через площадку.

В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряжённости принадлежат к величинам первого класса - они определены относительно линий. При желании отметить это обстоятельство мы можем, ссылаясь на них, именовать их Напряжённостями (интенсивностями).

Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса - они определены относительно площади. При желании отметить это обстоятельство мы будем, ссылаясь на них, именовать их Потоками.

Можно считать, что каждая из этих напряжённостей производит (или стремится произвести) соответствующий ей поток. Так, электродвижущая напряжённость создаёт электрические токи в проводниках и стремится создать их в диэлектриках. Она создаёт электрическую индукцию в диэлектриках, а возможно, и в проводниках тоже. В этом же смысле магнитная напряжённость производит магнитную индукцию.

13. В одних случаях поток оказывается просто пропорциональным напряжённости и совпадающим с ней по направлению, в других - мы можем только утверждать, что и его направление, и его величина являются функциями направления и величины напряжённости.

Случай, в котором составляющие потока представляют собой линейные функции составляющих напряжённости, обсуждается в п. 297 главы «Уравнения Проводимости». Связь между напряжённостью и потоком определяется, вообще говоря, девятью коэффициентами. Но иногда у нас есть основания полагать, что шесть из них образуют три пары равных между собой величин. Тогда связь между линией, вдоль которой направлена напряжённость, и плоскостью, нормальной к потоку, подобна связи между полудиаметром эллипсоида и сопряжённой ему диаметральной плоскостью. На кватернионном языке в этом случае говорят, что один из векторов является линейной векторной функцией другого, а когда существует три попарно одинаковых коэффициента, то эту функцию называют самосопряжённой.

В случае магнитной индукции в железе поток (намагниченность железа) не является линейной функцией интенсивности намагничивания. Однако во всех случаях произведение напряжённости (интенсивности) на поток, спроектированный на направление напряжённости, приводит к важному научному результату. И это произведение всегда является скалярной величиной.

14. С этими двумя классами векторов или направленных величин связаны две часто встречающиеся математические операции.

В случае напряжённости следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряжённости вдоль этого элемента. Результат такой операции называется Линейным (криволинейным) интегралом от напряжённости. Он представляет собой работу, производимую над телом, перемещаемым вдоль этой линии. В некоторых случаях, когда линейный интеграл не зависит от формы линии, а зависит только от положения её конечных точек, линейный интеграл называется Потенциалом.

В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый из её элементов. Результат этой операции называется Поверхностным интегралом от потока, он представляет собой то количество, которое проходит через поверхность.

Существуют определённые поверхности, потоки через которые равны нулю. Если две из них пересекаются, то линия пересечения является линией потока. В тех случаях, когда поток совпадает по направлению с силой, линии подобного рода называют Линиями Силы. Однако было бы правильнее в электростатике и магнитостатике говорить о них как о линиях индукции, а в электрокинематике - как о Линиях Тока.

15. Существует ещё одно различие между двумя разными видами направленных величин, хотя и очень важное с физической точки зрения, однако не настолько необходимое, чтобы его следовало отмечать ради применения математических методов. Речь идёт о различии между поступательными (продольными) и вращательными свойствами.

Направление и модуль величины могут зависеть от какого-то действия или эффекта, целиком и полностью происходящего вдоль определённой линии, а могут зависеть от чего-то иного, имеющего характер вращения вокруг этой линии, принимаемой за ось. Законы сложения направленных величин, и поступательных (продольных), и вращательных, одинаковы, так что при математическом рассмотрении между величинами этих двух классов нет никаких различий, однако могут существовать некие физические обстоятельства, указывающие, к какому из классов мы обязаны отнести данное частное явление. Так, электролиз состоит в переносе некоторых веществ вдоль линии в одном направлении и некоторых других веществ в противоположном направлении; он представляет собой, очевидно, явление поступательное (продольное), в нём нет никаких признаков эффекта вращения вокруг направления силы.

Отсюда мы делаем вывод, что и электрический ток, который вызывает или сопровождает электролиз, относится к поступательным (продольным), а не к вращательным явлениям.

С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчётливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным.

О линейных интегралах

16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, и потому её следовало бы ясно понимать.

Пусть 𝑥, 𝑦, 𝑧 - координаты точки 𝑃, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определённой точки 𝐴, равна 𝑠. Эти координаты будут функциями только одной переменной 𝑠.

Обозначим через 𝑅 численное значение векторной величины в точке 𝑃, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением 𝑅 угол ε. Тогда величина 𝑅 cos ε представляет собой составляющую 𝑅 вдоль кривой, а интеграл

𝐿=

𝑠

∫

0

𝑅 cos ε

𝑑𝑠

называется линейным интегралом от 𝑅 вдоль 𝑠.

Это выражение может быть записано так:

𝐿=

𝑠

∫

0

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝑍

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅, параллельные осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно.

В общем случае этот интеграл для различных линий, проведённых между 𝐴 и 𝑃 различен. Но когда внутри некоторой области величина

𝑋𝑑𝑥

+

𝑌𝑑𝑦

+

𝑍𝑑𝑧

=

-𝐷Ψ

является полным дифференциалом, то интеграл 𝐿 становится равным 𝐿=Ψ_𝐴-Ψ_𝑃. при этом он одинаков для любых двух путей произвольной формы между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что форма одного пути может быть преобразована в форму другого посредством непрерывного перемещения без выхода за пределы данной области.

О потенциалах

Величина Ψ есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчёта. Её называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами 𝑋, 𝑌, 𝑍 говорят, что она имеет потенциал Ψ, если