До тех пор, пока число 𝑛 остаётся конечным (хотя и большим), функция 𝐹 будет непрерывной, но если сделать 𝑛 бесконечным, то функция 𝐹 окажется равной 𝐹2 при положительных φ и 𝐹1 при отрицательных φ.
Разрывность производных от непрерывных функций
Первые производные от непрерывной функции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
a 𝐹1 и 𝐹2 выражены через φ и через (𝑛-1) остальных переменных, скажем, через (𝑦,𝑧,…).
Тогда при φ отрицательных следует брать 𝐹1, а при φ положительных 𝐹2, и так как при φ=0 функция 𝐹 сама по себе непрерывна, то 𝐹1=𝐹2.
Следовательно, при значении φ, равном нулю, производные 𝑑𝐹1/𝑑φ и 𝑑𝐹2/𝑑φ могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как 𝑑𝐹1/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹2/𝑑𝑦, должны быть одинаковыми. Разрывность, таким образом, ограничена только производными по φ, все же другие производные остаются непрерывными.
Периодические и кратные функции
9. Если функция 𝑢 от 𝑥 такова, что её значения при 𝑥, 𝑥+𝑎, 𝑥+𝑛𝑎 одинаковы, как и при всех других значениях 𝑥, отличающихся на 𝑎, то 𝑢 называется периодической функцией 𝑥, а 𝑎 - её периодом.
Если же рассматривать 𝑥 как функцию 𝑢, то для некоторого заданного значения 𝑢 должен существовать бесконечный ряд значений 𝑥, отличающихся друг от друга на величину, кратную 𝑎. В этом случае 𝑥 называется кратной функцией 𝑢, а величина 𝑎 - её циклической постоянной.
Производная 𝑑𝑥/𝑑𝑢 имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению 𝑢.
О соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве
10. Характеризуя разновидности физических величин, очень важно знать, как они зависят от направлений тех координатных осей, которые обычно используются для установления местоположения предметов. Введение Декартом координатных осей в геометрию было одним из величайших шагов в развитии математики, ибо это свело методы геометрии к расчётам, совершаемым над численными величинами. Положение точки сделалось зависящим от длин трёх линий, проводимых всякий раз в определённых направлениях, а линия, соединяющая две точки, подобным же образом стала рассматриваться как результирующая трёх линий.
Однако, в отличие от вычислений, для многих целей физического обоснования желательно избегать явного введения декартовых координат, сосредоточивая внимание сразу же на точке в пространстве, а не на трёх её координатах, или на величине и направлении силы, а не на трёх её составляющих. Такой подход к рассмотрению геометрических и физических величин является более простым и естественным, чем другой, координатный, хотя связанные с ним представления не получили полного развития до тех пор, пока Гамильтон не сделал следующего великого шага в обращении с пространством и не изобрёл своё Кватернионное Исчисление.
Поскольку декартовы методы всё ещё остаются наиболее привычными для исследователей, занимающихся наукой, и они действительно являются наиболее удобными при вычислениях, мы тоже будем выражать все наши результаты в декартовой форме. Я убеждён, однако, что введение идей, извлечённых из кватернионных операций и методов, принесёт нам огромную пользу при изучении всех разделов нашего курса, особенно электродинамики, где приходится иметь дело с рядом физических величин, соотношения между которыми можно существенно проще представить при помощи нескольких выражений по Гамильтону, чем через обычные уравнения.
11. Одной из наиболее важных особенностей метода Гамильтона является разделение величин на Скаляры и Векторы.
Скалярная величина допускает полное определение при помощи одной-единственной численной характеристики. Её численное значение никоим образом не зависит от принятого нами направления координатных осей.
Вектор, или Направленная величина, для своего определения требует трёх численных характеристик, и проще всего они могут быть поняты как величины, отсчитываемые в направлениях координатных осей.
Скалярные величины не включают в себя никаких направлений. Объём геометрической фигуры, масса и энергия материального тела, гидростатическое давление в какой-либо точке жидкости, потенциал в какой-либо точке пространства - всё это примеры скалярных величин.
Векторная величина имеет направление, а также модуль, причём обращение её направления на противоположное изменяет её знак. Смещение точки, представляемое прямой линией, проведённой из-её начального положения в конечное, может быть взято в качестве типичной векторной величины, из которой в самом деле и было образовано название Вектор.
Скорость тела, его импульс, сила, действующая на тело, электрический ток, намагниченность частицы железа - всё это примеры векторных величин.
Существуют и другого рода физические величины, которые хотя и связаны с направлениями в пространстве, но не являются векторами. Натяжения и деформация в твёрдых телах служат этому примерами, сюда же относятся некоторые свойства тел, изучаемые в теории упругости и теории двойного лучепреломления. Для определения величин этого класса требуется девять численных характеристик. На языке кватернионов они выражаются как линейные и векторные функции от вектора.
Сложение одной векторной величины с другой, однотипной с ней, производится в соответствии с правилом сложения сил в статике. Действительно, доказательство, которое даёт Пуассон для «параллелограмма сил», применимо к составлению любых величин, перевёртывание (перестановка концов) которых равносильно обращению их знака.
В тех случаях, когда у нас появится желание обозначить векторную величину одним символом и привлечь внимание к тому факту, что она является вектором и что у неё необходимо рассматривать как направление, так и модуль, мы будем прибегать к заглавным готическим буквам, например 𝔄, 𝔅, …
В кватернионном исчислении положение точки в пространстве определяется вектором, проведённым в эту точку из некоторой фиксированной точки, называемой начальной точкой или началом координат. Если нам нужно изучать какую-либо физическую величину, значение которой зависит от положения точки, то она рассматривается как функция вектора, проведённого из начала координат. Сама эта функция может быть и скаляром, и вектором. Плотность тела, его температура, его гидростатическое давление, потенциал в точке - всё это примеры скалярных функций. Результирующая сила в точке, скорость жидкости в точке, скорость вращения элемента жидкости, а также момент пары сил, производящий вращение,- всё это примеры векторных функций.
12. Физические векторные величины можно разделить на два класса: в одном из них величина определена относительно линии, в другом - относительно площади.
Так, например, результирующую силу притяжения можно измерить, отыскав работу, которую она произвела бы над телом при его перемещении на малое расстояние в направлении силы, и поделив её на величину этого малого расстояния. Здесь сила притяжения определена относительно линии.
С другой стороны, поток тепла в каком-либо направлении в какой-либо точке твёрдого тела может быть определён как количество тепла, которое проходит через маленькую площадку, проведённую перпендикулярно к данному направлению, делённое на величину этой площадки и на время. Здесь поток определён относительно площадки.
Существуют некоторые случаи, в которых одна и та же величина может быть измерена и относительно линии, и относительно площадки.
Так, при рассмотрении смещений в упругих телах мы можем обратить внимание либо на начальное и фактическое положения частицы, и в этом случае её смещение измеряется линией, проведённой из первого положения во второе; либо мы можем рассматривать маленькую фиксированную в пространстве площадку и определить, какое количество вещества проходит через эту площадку за время смещения.
